一元二次不等式恒成立问题

1微专题不等式一元二次不等式恒成立问题一、备考基础——查清1、解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题.2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.二、热点命题——悟通考点1形如f(x)≥0(x∈R)例1、若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则常数a的取值范围是________________．[解析由题意得a0，Δ＝1＋4a≤0，解得a≤－14.例2、不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1，4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．[－2，5][解析][思路点拨]由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x轴没有交点；方法一：原不等式可化为x2－2x－a2＋3a＋5≥0，要使不等式对任意实数x恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a2＋3a＋5)≤0，即a2－3a－4≤0，解得－1≤a≤4，故选A.方法二：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.考点2形如f(x)≥0(x∈[a，b])例3、设对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是()A．a＞0B．a＞12C．a＞14D．a＞0或a＜－12[解析][思路点拨]由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于0。设f(x)＝x2＋ax－3a.因为对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a＜0恒成立，所以f（－1）0，f（1）0，即（－1）2－a－3a0，12＋a－3a0，解得a12，即实数a的取值范围是a12，故选B.[总结反思](1)一元二次不等式在指定范围内恒成立(或者不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间．(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式两端，则问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.考点3形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])2例4、已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a0恒成立，求x的取值范围．[思路点拨]可把x当作a的系数，把原不等式化为关于a的不等式，则原问题转化为一次函数在区间[－1，1]恒成立问题．解：把原不等式化为(x－2)a＋x2－4x＋4＞0，设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则f(a)可看成为关于a的函数．由f(a)0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）0，f（1）0，即x2－5x＋60，x2－3x＋20，解得x1或x3，即x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．[总结反思]此类问题的求解有两种方法：(1)直接求解，应用分类讨论思想；(2)应用函数思想，以参数为主元，“反客为主”，构造关于参数的函数．考点4一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x的不等式ax2＋3x＋c≥0的解集为[1，2]，则a＝________，c＝________．解析：由题意得方程ax2＋3x＋c＝0的两根为x1＝1，x2＝2，由根与系数的关系可得1＋2＝－3a，1×2＝ca，解得a＝－1，c＝－2.例6、设a1，若x0时，[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0恒成立，则a＝________．思路本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂．可考虑根据不等式对应的函数f(x)、方程f(x)＝0和不等式f(x)≥0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0，＋∞)上的关系.解析设函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x2－ax－1，则这两个函数图像都过定点P(0，－1)，问题可转化为两个函数在区间(0，＋∞)上的符号相同．在函数y1＝(a－1)x－1中，令y1＝0，得x＝1a－10，即函数y1的图像与x轴的交点坐标为M1a－1，0，而函数y2＝x2－ax－1的图像过点M，则1a－12－aa－1－1＝0，解得a＝0或a＝32.又a1，所以a＝32.三、迁移应用——练透1．已知关于x的不等式x2－ax＋2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析](1)∵x2－ax＋2a0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a0，解得0a8.2．函数f(x)＝ln(3x2＋ax＋1)的定义域为R，则实数a的取值范围是________[解析]依题意，知3x2＋ax＋10对任意实数x恒成立，所以Δ＝a2－4×3×10，解得－23a23.3．设a为常数，∀x∈R，f(x)＝ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是()A．(0，4)B．[0，4)C．(0，＋∞)D．(－∞，4)[解析]先分类讨论二次项系数，再由f(x)＞0恒成立，得出相应的判别式应小于0.当a＝0时，f(x)＝10对∀x∈R成立；当a≠0时，要使∀x∈R，f(x)＞0恒成立，3则a0，Δ＝a2－4a0，解得0a4.综上，a的取值范围是[0，4)，故选B.4．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集为()A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1，0)D．(0，1)[解析](1)∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋40，∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)f(－1)0，即(6a＋5)(2a＋3)0，∴－32a－56.又a∈Z，∴a＝－1，∴不等式f(x)1即为－x2－x0，解得－1x0，故选C.5．若不等式x2＋ax－20在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是()A.－235，＋∞B.－235，1C．(1，＋∞)D.－∞，－235[解析]由Δ＝a2＋80，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－235，故a的取值范围为－235，＋∞，故选A.6．若关于x的方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m的取值范围是()A．(－2，2)B．(－2，0)C．(－2，1)D．(0，1)[解析]设f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，由关于x的方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，得f(1)＜0，即12＋(m－1)＋m2－2＜0，化简得m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，即实数m的取值范围是(－2，1).7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为()A．0B．3C．6D．9[解析]由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24，4∴f(x)＝x＋a22，∴f(x)c，即x＋a22c，解得－a2－cx－a2＋c，∴－a2－c＝m，－a2＋c＝m＋6，得2c＝6，∴c＝9.8．若不等式x2＋2x＋2＞|a－2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是________．[解析]∵x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，∴由不等式x2＋2x＋2＞|a－2|对于一切实数x均成立，得|a－2|＜1，解得1＜a＜3，∴实数a的取值范围是(1，3)．9．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解：方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为直线x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝2a＋3，所以要使f(x)≥a，x∈[－1，＋∞)恒成立，只需2a＋3≥a即可，故－3≤a＜－1.②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，所以只需2－a2≥a即可，故－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围是[－3，1]．方法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或Δ0，a－1，g（－1）≥0，解得－3≤a≤1.故所求a的取值范围是[－3，1]．