直线与椭圆的位置关系课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.2椭圆第3课时直线与椭圆的位置关系第二章典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1自主预习学案•1．巩固掌握椭圆的几何性质．•2．能够解决直线与椭圆相交的简单问题．•重点：椭圆几何性质的综合运用及直线与椭圆相交的问题．•难点：直线与椭圆相交的问题．•温故知新•回顾复习点与圆的位置关系的代数表示，直线与圆的位置关系的代数与几何表示．•直线与椭圆的位置关系•思维导航•1．设椭圆的两焦点F1、F2，已知点P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，那么点P在椭圆外时，设直线PF1交椭圆于Q，则|PF1|＋|PF2|与|QF1|＋|QF2|的大小关系如何？•2．直线与椭圆的位置关系，可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与椭圆的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论？新知导学1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔__________；点P在椭圆内部⇔__________；点P在椭圆外部⇔__________．x20a2＋y20b2＝1x20a2＋y20b21x20a2＋y20b212．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系判断方法：由y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1.消去y(或x)得到一个一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ_____0相切一解Δ_____0相离无解Δ_____0＝3．直线与椭圆相交弦长设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2__________＝1＋1k2__________，一般地，|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2用根与系数关系求解．|x1－x2||y1－y2|牛刀小试1．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为()A．15B．25C．55D．255•[答案]D[解析]令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝－2，由题意知椭圆的半焦距c＝2，短半轴长b＝1，∴a＝5，∴离心率e＝ca＝255．2．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．2个B．至多一个C．1个D．0个[答案]A[解析]由题意得4m2＋n22，∴m2＋n24．∴－2m2，－2n2．∴点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1内，故过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1有2个交点．3．过点(－3,2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆方程是________．[答案]x215＋y210＝1[解析]因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x2a2＋y2a2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15，故方程为x215＋y210＝1．4．已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．[答案]553•[分析]可先求出A，B两点坐标，再转化为两点间的距离问题；也可以利用弦长公式求解．[解析]解法一：∵直线l过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2，∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．由方程组2x－y－2＝0，x25＋y24＝1，得交点A(0，－2)，B(53，43)．∴|AB|＝xA－xB2＋yA－yB2＝0－532＋－2－432＝1259＝553．解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组2x－y－2＝0，x25＋y24＝1.的解．消去y得3x2－5x＝0，则x1＋x2＝53，x1·x2＝0．∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x221＋k2AB＝1＋k2AB[x1＋x22－4x1x2]＝1＋22[532－4×0]＝553．解法三：由方程组2x－y－2＝0，x25＋y24＝1，消去x得3y2＋2y－8＝0，则y1＋y2＝－23，y1y2＝－83．∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝y1－y22·1k2AB＋1＝1＋1k2AB[y1＋y22－4y1y2]＝1＋14·[－232－4×－83]＝553．5．已知椭圆E：x28＋y24＝1．(1)直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，求实数m的取值范围；(2)以椭圆E的焦点F1、F2为焦点，经过直线l′：x＋y＝9上一点P作椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程．[解析](1)由x28＋y24＝1，y＝x＋m.消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0．∵直线l与椭圆E有两个公共点，∴Δ＝16m2－12(2m2－8)0，解得－23m23，∴实数m的取值范围是(－23，23)．(2)依题意，F1(－2,0)、F2(2,0)．作点F1(－2,0)关于l′的对称点F1′(9,11)设P是l′与椭圆的公共点，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝|PF′1|＋|PF2|≥|F′1F2|＝72＋112＝170，∴2a的最小值为170，此时，a2＝1704＝852，b2＝a2－c2＝772．∴长轴最短的椭圆方程是x2852＋y2772＝1．典例探究学案•直线与椭圆的位置关系已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m．(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．•[分析]求m的取值范围，从方程角度看，需将问题转化为关于x的一元二次方程解的判断，而求弦最长时的直线方程，就是将弦长表示成关于m的函数，求出当弦长最大时的m值，从而确定直线方程．[解析](1)由4x2＋y2＝1，y＝x＋m.消去y得，5x2＋2mx＋m2－1＝0，∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－52≤m≤52．(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0．由根与系数的关系得x1＋x2＝－25m，x1x2＝m2－15．∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋x1＋m－x2－m2＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝2[4m225－45m2－1]＝2510－8m2．∵Δ＝4m2－20(m2－1)0，∴－52m52．∴当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x．[方法规律总结]1．研究直线与椭圆的位置关系，联立方程组消元后用判别式讨论．2．求直线被椭圆截得弦长，(一)是求出两交点坐标，用两点间距离公式；(二)是用|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)．3．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．•当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144．(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．[解析]由y＝x＋m，9x2＋16y2＝144.消去y得，9x2＋16(x＋m)2＝144，化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14400．•(1)当Δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点．•(2)当Δ0时，得－5m5，直线l与椭圆有两个公共点．•(3)当Δ0时，得m－5或m5，直线l与椭圆无公共点．[点评]研究直线与椭圆的位置关系，一般通过解直线方程与椭圆方程所组成的方程组Ax＋By＋C＝0，b2x2＋a2y2＝a2b2，对解的个数进行讨论，有两组不同实数解(Δ0)时，直线与椭圆相交；有两组相同的实数解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切；无实数解(Δ0)时，直线与椭圆相离．P(1,1)为椭圆x24＋y22＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．•[分析]本题涉及弦的中点，属于中点弦问题，采用点差法求解较简便．•中点弦问题[解析]解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y－1＝kx－1，x24＋y22＝1.消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝4kk－12k2＋1，又∵x1＋x2＝2，∴4kk－12k2＋1＝2，得k＝－12．故弦所在直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0．解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则x214＋y212＝1，x224＋y222＝1，两式相减得x1＋x2x1－x24＋y1＋y2y1－y22＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴x1－x22＋(y1－y2)＝0，∴k＝y1－y2x1－x2＝－12．∴此弦所在直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0．[方法规律总结]1．中点弦问题常用“点差法”求解，即P(x0，y0)是弦AB的中点，A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上，将A、B坐标代入椭圆方程两式相减，然后结合x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，及y2－y1x2－x1＝k求解．2．注意“设而不求，整体代换”方法的应用．•已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点为M(1,1)，求直线AB的方程．•[解析]设通过点M(1,1)的直线AB的方程为•y＝k(x－1)＋1，•代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k2)－36＝0．设A、B的横坐标分别为x1、x2，则x1＋x22＝－18k1－k29k2＋4＝1．解得k＝－49．故AB方程为y＝－49(x－1)＋1．∴所求直线方程为4x＋9y－13＝0．(2013·天津理，18)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．[解题思路探究]第一步，审题．(1)由离心率和弦长433可建立a、b、c的关系式，求椭圆的方程只要结合a2＝b2＋c2，求出a、b的值即可；(2)由椭圆方程可求得A、B两点坐标，由条件可设出CD方程y＝k(x＋1)，与椭圆方程联立消去y(或x)得到一元二次方程，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，代入所给向量等式中，结合根与系数的关系，建立关于k的方程即可解出k．第二步，确定解题步骤．先由条件建立a、b、c的方程组，解方程组求出a、b的值得到椭圆方程，再求出A、B、F的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立消元，由根与系数的关系，结合所给向量等式建立关于k的方程求解．第三步，规范解答．[解析](1)设F(－c,0)，由ca＝33，知a＝3c．过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有－c2a2＋y2b2＝1，解得y＝±6b3，于是26b3＝433，解得b＝2，又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，所以椭圆方程为x23＋y22＝1．(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组y＝kx＋1，x23＋y22＝1，消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．∴x1＋x2＝－6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2．因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC→·DB→＋AD→·CB→＝(x1＋3，y1)·(3－x2，－y2)＋(x2