1.3.1利用导数判断函数的单调性

1.3.1利用导数判断函数的单调性复习1.函数的单调性:对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.引入新课Abat0Oht竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h=h(t)，其图象如图所示。横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的最高点为A，其横坐标为t=t0.先考察沙袋在区间(a，t0)的运动情况：根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0，即在区间(a，t0)，0lim'()0thhtt我们说在此区间内，函数h=h(t)是增函数.Abat0Oht再考察沙袋在区间(t0，b)的运动情况：在这个区间内，沙袋向下运动，其竖直向上的瞬时速度小于0，即在区间(t0，b)，0lim'()0thhtt我们说在此区间内，函数h=h(t)是减函数。Oyx如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总有f’(x)0，则f(x)在这个区间上是增函数；如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总有f’(x)0，则f(x)在这个区间上是减函数。用函数的导数判断函数单调性的法则：1．在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)0.2．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)是常函数，不具有单调性．题型一：利用导数求函数单调问题（不含参数）例．证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x1证明：∵f’(x)=()’=(－1)·x－2=－，1x21x∵x0，∴x20，∴－＜0.即f’(x)＜0，21x∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.1x例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f’(x)＜0，f(x)是减函数.例3．找出函数f(x)=x3－4x2+x－1的单调区间。解：f’(x)=3x2－8x+1，令3x2－8x+10，解此不等式得4133x或4133x因此，区间413413(,)(,)33和为f(x)的单调增区间；令3x2－8x+10，解此不等式得41341333x因此，区间为f(x)的单调减区间。413413(,)33例判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．[思路点拨]求导数→对a进行分类讨论→每种情况下确定函数在－∞，＋∞上的单调性题型二：利用导数求函数单调问题（含参数）[精解详析]∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函数的单调性；(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．[思路点拨]函数在区间[2，＋∞上单调递增→f′x≥0在区间[2，＋∞上恒成立→利用分离参数或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证说明.[例已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．[精解详析]f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2.要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即2x3－ax2≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x20，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)时，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．例:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:.13)(2axxf若a0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.0)(xf若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.,01)(xf若a0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf故a0,其单调区间是:单调递增区间:).31,31(aa单调递减区间:和).,31()31,(aa题型三：利用导数证明不等式例．当x1时，证明不等式：123xx证明：设f(x)=123xx显然，f(x)在[1，∞)上连续，且f(1)=0．f’(x)=211xx11(1)xxx∵x1,∴0，于是f’(x)0.11xx故f(x)是[1，+∞)上的增函数，应有：当x1时，f(x)f(1)=0，即当x1时，123xx练习题1．函数y=3x－x3的单调增区间是()(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)C2．设f(x)=x＋(x0)，则f(x)的单调增区间是()(A)(－∞，－2)(B)(－2，0)(C)(－∞，－)(D)(－，0)2x22C3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是()(A)单调增函数(B)单调减函数(C)在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数(D)在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数1e1e1e1eC4．函数y=x2(x+3)的减区间是，增区间是.(－2，0)(－∞，－2)及(0，+∞)5．函数f(x)=cos2x的单调区间是.(kπ,kπ+),k∈Z2证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间(－,0)上是增函数。2证明：f’(x)=(cosx)’=－tanx.1cosx当x∈(－,0)时,－tanx0,即f’(x)0,2∴函数f(x)=ln(cosx)在区间(－,0)上是增函数。2例1．如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定；图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定；图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说明这个法则的正确性：当v(t)=s’(t)0时，s(t)是增函数；当v(t)=s’(t)0时，s(t)是减函数。我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解这个法则；当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈上升状态；当切线斜率为负时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈下降状态.