矩阵及其运算习题课

第二章矩阵及其运算习题课术洪亮矩阵是线性代数中非常重要理论之一，它贯穿线性代数内容的始终，在本章中首先介绍了矩阵的一些基础知识，其主要内容可概括为：矩阵概念：矩阵、转置矩阵、零矩阵、负矩阵、同型矩阵等；运算：线性运算，矩阵乘法；方阵对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵特殊矩阵三角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵对称矩阵、反对称矩阵矩阵的行列式，方阵乘积的行列式，奇异矩阵、非奇异矩阵、逆矩阵、伴随矩阵分块矩阵：分块对角矩阵，简单分块矩阵的求逆。关于矩阵的乘法AB，注意当A的列数与B的行数相同时才可以相乘，而且矩阵乘法不满足交换律，消去律，即AB=AC时，不一定有B=C，AB=0时，不一定有A=0，或B=0，但是当A为方阵且可逆时，若AB=AC，AB=0，则有B=C，B=0，,TTTTTTABBAABAB逆矩阵，注意111111,ABBAABAB例1：若n阶矩阵A的行列式为2A求：11*3,,,(4)3AAAAA解：因为数3乘以A相当于用3去乘A的所有元素，3A的行列式是每行含有公因子3，共提出n个3，所以：3A3332nnAA同理(1)2nA2，AA可逆，11**111112nnnAAAAAAAA1*1111143342312364424nnnAAAAAAA例2：设A为n阶可逆矩阵，求1*A解：1**111*11AAAAAAAAAAA例3：设100010,002解：4100010,0016A100010,002kkA11210001000A41,,.kAAA求例4：设A、B为n阶方阵，且2,3AB求,TAAB解:2,1112316TTnnnnAAAABABAB为的转置，求nA解：112311223332112121331TA1123(1,2,3),(1,,),,TA例5：设其中T111123232223333223292112121313131632393AA所以，322233333AAAAAAAA故13.nnAA例6：求矩阵121345201A的伴随矩阵和逆矩阵1A*A解：1112134535344,13,8012120AAA而112131*122232132333AAAAAAAAAA212223212,01113,01124,20AAA31216,45A32112,35A33122,34A*4261332842A12134514201A1*42611133214842AAA例7：设2000110000140012A求1A把A分块为1200AAA其中12011A21412A则1111200AAA1*1111011122AAA1*2222411116AAA12121123311660001000000A