初中数学竞赛辅导资料25

初中数学竞赛辅导资料(25)十进制的记数法甲内容提要1.十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数—第1位)，101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×1002.十进制的n位数(n为正整数)，nnaaaa321记作：10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an其中最高位a1≠0，即0a1≤9，其它是0≤a1,a2,a3…an≤93.各位上的数字相同的正整数记法：例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴99999个n＝10n-111111个n＝9110n，33333个n＝3110n，55555个n＝91105n4解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。乙例题例1.一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x，新六位数为10x＋1，根据题意，得10x＋1＝3（1×105＋x）7x=299999x=42857∴原六位数是142857例2.设n为正整数，计算99999个n×99999个n＋199999个n解：原数＝（10n–1）×（10n–1）+1×10n+10n－1＝102n－2×10n+1+10n+10n－1＝102n例3.试证明12，1122，111222，……，1111个n2222个n这些数都是两个相邻的正整数的积证明：12＝3×4，1122＝33×34，111222＝333×334注意到333×334＝333×（333＋1）＝31-103×（31-103＋1）由经验归纳法，得1111个n2222个n＝9110n×10n+91102n＝3110n（310n＋32）＝3110n（)13110n上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例4.试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d,根据题意得a+b+c+d=9k(k为正整数)，∴d=9k－a－b－c,代入原四位数，得103a+102b+10c＋9k－a－b－c＝（103－1）a+(102-1)b+9c+9k=9(111a+11b+c+k)∵111a+11b+c+k是整数，∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除推广到n位正整数：n位正整数记作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1）∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)∴an=9k－a1－a2－…－an-1代入（1）得原数＝10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示91999个n，92999个n，…9∴原数＝9（1111na1＋2111na2＋…＋an+k）∴这个n位正整数必能被9整除例5.已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。求：这个三位数。解：设这个三位数为102a+10b+c其中0＜a≤9,0≤b,c≤91110100cba＝9a＋b＋11cba且－8≤a-b+c≤18∵它能被11整除，∴a-b+c只能是11或0。①当a-b+c＝11时，商是9a+b+1,根据题意得9a+b+1＝a+b+c，c=8a+1a只能是1，c=9,b=a+c-11=-1不合题意②当a-b+c＝0时，商是9a+b,9a+b=a+b+c且a-b+c＝11解得891cba答这个数是198例6.一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。解：∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877,∴可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案abc(c-2)从个位看(c-2)+a=7或17+)(c-2)cba从千位看a+(c-2)=8(没进入万位)8877可知(c-2)+a=7即c+a=9(1)从十位上看b+c=7或17从百位上看c+b=8(进入千位)可知c+b=17(2)(2)+(1)得b-a=8∵0a≤90≤b≤9∴b=9∴a=1,b=9,c=8，c-2=6答这个正整数是1986丙练习251.设a是个两位数，b是三位数。当a接在b的左边时，这个五位数应记作_____，当a接在b的右边时，这个五位数应记作_____。2.有大小两个两位数。大数的2倍与小数的3倍的和是72。在大数的右边写上一个0再接着写小数，得到第一个五位数；在小数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个五位数得商2，余数590。求这两个两位数。3.计算：1987×19861986－1986×198719874.一个22位数，个位数字是7，当用7去乘这个22位数时，其积也是22位数，并且恰好是将这个数的个位数字7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。求原22位数。5.试证明：11－2，1111－22，12111个n－2222个n，各数都能写成某个正整数的平方。（即证明各数都是完全平方数）6.一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是4∶7。求符合条件的所有两位数。7.已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有abcdef×6＝defabc求原六位数abcdef8.已知四位数abcd除以9得四位数dcba，求原四位数。9.一个五位正奇数x，将x中的所有2都换成5，并把所有5都换成2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y，若x,yI满足等式：y=2(x+1),那么x=________(1987年全国初中数学联赛题)10.已知存在正整数n能使数111111个n被1987整除，求证：p=111111个n999999个n888888个n777777个n能被1987整除（1987年全国初中数学联赛题）11.一个三位数被11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符合条件的所有三位数。（1988年全国初中数学联赛题）12.一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7。求这个三位数。13.求证：1199011111个是一个合数。返回目录参考答案上一页下一页