连续介质力学-第1章-四川大学

1.1矢量、矩阵与张量iiiaaaaeeeea31332211x3x1x2e3e2e1直角坐标系的基矢量iiaeax3x1x2a1a2a3a矢量的分量Einstein求和约定iiaea在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号哑标:求和约定中的重复脚标哑标可以用其它的字母代替，只要该字母在本项中没有出现过就行jjiiaaeeakmmkjjcbacba哑标在同一项中只能重复一次iiicbaiiiicba31矢量的代数运算(1)加法iiiiiiiiicbabaeeeebac)((2)数乘jjjjbbeeba)()((3)数积332211bababababaiijjii)()(eeba)()(jijiji01ee332211bababababaiijjii)()(eebaKronecker记号ij)()(jijiij01cosbaba13322110311332232112iijiijjijijjiibabababa)()()(eeeebaijijaajiijaa自由指标:不重复的脚标对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同ikikmimaaBbAikjkmimaaBbAikikmimiaaBxAximimjaxAx若方程包含了一个自由指标，就意味着有三个方程111axAxmm222axAxmm333axAxmmimimiaxAx(4)矢积cba123312231213132321321321321eeeeeeeeebacbababababababbbaaac的模就是a和b所张成的平行四边形的面积1.a、b和e的脚标一定是1、2、3的一个排列，在同一项内，不会重复出现1、2、3中的任何一个数。2.当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个偶排列（即123，231，312）时，该项取正号。3.当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个奇排列（即132，213，321）时，该项取负号。)(0)123(1)123(1有两个值相等时当的奇排列时是当的偶排列时是当ijkijkijkijk置换符号kijjkiijkkjiikjjikijk123是偶排列；当一个排列从123开始交换相邻两个数的位置，若需要交换奇数次则该排列是奇排列，交换偶数次则是偶排列。方法一：方法二：偶排列与奇排列：死记硬背偶排列:123，231，312奇排列:132，213，321方法三：321kjiijkjjiibabaeeebac)()(kijkjieeeabbaabba(5)混合积)(][cbacba，，acb三个矢量的混合积如果a、b、c的空间位置顺序服从右手螺旋法则，那么混合积的几何意义就是由a、b、c所张成的平行六面体的体积kjiijkkjijkikjiiljkllkjjkliikkjjiicbacbacbacbacba)(][eeeeecba，，][][][bacacbcba，，，，，，][][][][bcaabccabcba，，，，，，，，例:导出Kronecker符号与置换符号间的运算关系。1333231232221131211kjikjikjiijk333222111rkrjriqkqjqipkpjpiijkpqr例1.5证明jminjnimmnkijkkkknkmjkjnjmikinimmnkijkikjnkminjmkkjkknimjkinkmikknjmjnimkkmnkijkikjnkminjmjkknimjkinkmikknjmjnim33jnmiinjmnjiminmjnijmjnim333kkniikkn小结：iiaeaEinstein求和约定Kronecker记号)()(jijiij01)(0)123(1)123(1有两个值相等时当的奇排列时是当的偶排列时是当ijkijkijkijk置换符号自由标，哑标1.2场论概要如果一种物理量在某个空间区域中的每一点都有确定的值，就称这个空间区域上定义着该物理量的场。数量场:温度场、电位场等矢量场:速度场、力场等1.梯度（gradient）若在数量场中的一点M处存在着矢量g，其方向为M点处函数变化率最大的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g为这个函数在M点处的梯度gradggradg▽称为Hamilton算符123123iixxxxeeee若某个函数对坐标xi取偏微分，则简记为(.),iiieg，方向导数123123coscoscosiinnxxxn，2.散度（divergence）SvvvSnvSSSiiSdcoscoscosdd332211)(nv称为矢量v在S上的通量SvvvSSSdcoscoscosd332211)(nv)(213132321ddddddxxvxxvxxvSGauss公式(奥高公式，或奥式公式)：通量散度VddVdivSnuSu物理意义:若divu0则表示在该点处有“汇”若divu0则表示在该点处有“源”若divu=0则表示在该点处无“源”无“汇”其大小表示“源”和“汇”的强度与坐标系无关332211divxuxuxuuii，uundxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx3.旋度（rotation）Stokes公式：设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与法线符合右手规则,函数),,(zyxP,),,(zyxQ),,(zyxR在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式的nLS对于矢量场u，称为沿L的环量。若L为某一曲面S的边界，曲面S的法线单位矢量为n，而且曲线L的走向与n满足右手法则，则根据Stokes公式，有：332121233112233112123123S123=()()()eeeLSutdLuuuuuudxdxdxdxdxdxxxxxxxdSxxxuuuLLdtuLLdtu物理意义：旋度是用来描述一个旋涡源(vortexsource)的旋涡流强度的，而所谓的旋涡源(vortexsource)就是一个能在其周围造成一个“环”(即：环量∮u.tdL)的流源。因此为了描述此旋涡源的強度，定义:单位面积的最大环量称作旋度,其方向为此环所为的面的法向量。123123123eeeu=u=rotxxxuuu令：矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数一点的旋度的大小是该点环量面密度的最大值。旋度的方向是与该点最大环量面密度对应的法线方向。在矢量场中，若rotu＝J≠0，称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)，若矢量场处处rotu＝0，称之为无旋场。小节：梯度：散度：旋度：graduudivuurotuu123123(,,)(,,)xxxuuuu并积数积矢积矩阵：方阵：行数＝列数；矩阵的转置：将m×n的矩阵A的行列互换，得到n×m的新矩阵，称作A的转置，记为AT；列矩阵：只有一列的矩阵；行矩阵：列矩阵的转置；11112122122212nnnnnnnaAAAaAAAaAAAaA≠对称矩阵：对于方阵A，有A=AT；反对称矩阵：若AT=－A；对角阵：方阵A的主对角线上有非零元素，其余元素均为零，记为A=diag（A11,A22,…,Ann）；单位阵：对角线元素全为1的对角阵，记为I；矩阵的加法分解：任意方阵A都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。TT11()()22AAAAAT1()2DAAT1()2WAA令：逆矩阵：对于方阵A，若存在方阵B，使AB=BA=I，则称B是A的逆矩阵，记为B=A－1逆矩阵存在的充要条件是|A|≠0克莱默法则：A-1=A*/|A|其中：伴随矩阵,余子式：代数余子式：=(-1)i+j余子式**********111212122212AnnnnnnAAAAAAAAA1112112122221212jnjniiijinnnnjnnAAAAAAAAAAAAAAAA*ijA关于转置和逆的计算规则:转置:逆:()AATT()TTTABAB()TTTABBA111()AA111()ABBA正交矩阵：对于方阵A，若有A－1＝AT，则称A是正交矩阵例1.15如图1.12，平面直角坐标系绕原点O旋转一角度形成新坐标系，导出其坐标变换矩阵M，并说明M是正交矩阵。2x2x2e1e1x1x图1.12平面直角坐标变换解：由图1.12易得，新坐标系的单位矢量即上式可简记为和易于证明，M满足条件，故M是正交矩阵。M还可表示为112212cossinsincoseeeeee2121cossinsincoseeee2121eeeeMTM)()(2121eeee))))M2212211122122111cos(cos(cos(cos(eeeeeeeeeeeeeeee，，，，TMM1在三维情况下321321eeeeeeMTM)()(321321eeeeee)))))))))M332313322212312111332313322212312111cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee，，，，，，，，，其中可以证明：TMMITMMI3x2x2x1x1x3x若反过来考虑，坐标变换是123123()()eeeeee则存在：11*2233Meeeeeecos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()111213111213212223212223313233313233eeeeeeeeeeee=eeeeee=eeeeeeeeeeeeeeeeee*M，，，，，，，，，比较可以看出，M*=MT而推导可以得到，M*=M-1MT＝M-1坐标变化矩阵M是正交矩阵同理，一个正交矩阵必对应一个坐标变换。detM10（a）若绕过原点的某轴的一个旋转detM10（b）若(1)绕过原点的某轴的一个旋转;(2)对某个轴的反射,右手系的原坐标系改换为左手系;3x2x2x1x1x3