初中数学竞赛辅导资料(62)

237初中数学竞赛辅导资料（62）绝对值甲内容提要1.绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：)0(0)0()0(aaaaaa2.初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法.例如：（1）化简)2(xx解：当x=0,x=2时,)2(xx=0；当x0或x2时,)2(xx=x(x－2)=x2－2x；当0x2时，)2(xx=－x(x－2)=－x2+x.（2）解方程2xx=6.解：当x0时，x=－2；当0≤x≤2时，方程无解；当x2时，x=4.∴原方程的解是：x=－2，x=4..（3）作函数y=2xx的图象.解：化去绝对值符号，得y=－2x+2(x0)；y=2(0≤x≤2)；y=2x－2(x2).分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=2xx的图象.3.绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如：①解方程3x；②解不等式3x；③解不等式32＋x.解：①∵3x的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，02X00x2x2238∴方程3x的解是x=3,x=－3.②∵3x的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式3x的解集是－3＜x＜3.③∵2x的零点是x=－2,∴32＋x的几何意义是：x是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，∴32＋x的解集是x－5或x1.（如下图）4.绝对值的简单性质：①绝对值是非负数；②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤.例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折作函数图象：①y=1x②y=22xx（2）当f（－x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x2－2x－3的图象，可先作y=x2+2x－3自变量x0时的图象（左半图）再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.1-20--5239（3）把y=x的图象向上平移a个单位，所得图象解析式是y=ax；把y=x的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=3－x.（4）利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.乙例题例1.已知方程x＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.（1987年全国初中数学联赛题）解：当x0时，原方程为－x=ax+1,x=011a－,∴a+10.∴a－1；当x0时，原方程为x=ax+1,x=011a－,∴1－a0.∴a1.∵方程有一个负根并且没有正根，∴a－1且a≮1，∴a的取值范围是a≥1.例2.求函数y=2xx3－的最小、最大值.解：当x0时，y=－x+6；当0≤x3时，y=－3x+6；当x≥3时，y=x－6.根据图象有最低点而没有最高点∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).例3.解方程：①xx42；②421xx.解：①∵点（x）到点A（－2）和点B（4）的距离相等（如下图），∴x=1.240②∵点（x）到点A（－1）与到点B（2）的距离的和等于4，AB＝3∴x=2.5,x=-1.5.例4.解不等式:①1≤2x≤3；②121xx.解：①点（x）到点A（－2）的距离大于或等于1而小于或等于3在数轴上表示如图，∴不等式的解集是：－5≤x≤－3或－1≤x≤1②点(x)到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示，如图：∴不等式的解集是x1.例5.a取什么值时，方程ax12有三个整数解？(1986年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得12x=±a,2x=1±a,x－2=±(1±a)，∴x=2±(1±a).当a=1时，x恰好是三个解4，2，0.用图象解答更直观；（1）先作函数y=12x图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线)与y=12x图象相交，恰好是三个交点时，y=1,即a=1.本题若改为：有四个解，则0a1；两个解，则a=0或a1；一个解，则a不存在；无解，则a0.241丙练习621.方程3x=4的解是＿＿＿＿＿＿＿.2.方程6-2-xx=0的解是________.3.方程21xx=3的解是________.4.方程xx3=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.5.不等式2≤3x≤5的解集是___________________.6.不等式21xx5的解集是_______________________.7.不等式21xx3的解集是_______________________.8.不等式11-2xx的解集是_______________________.9.已知2)3(x3-x,那么xx1_______________.10.关于x的方程x=ax+2有根且只有负根，求a取值范围.11.a取什么值时，方程ax12无解？有解？有最多解？12.作函数y=312xxx的图象；并求在－3≤x≤3中函数的最大、最小值.13.解方程451xx.14.作函数y=12xx的图象.15.选择题：（1972、1973年美国中学数学竞赛试题）①.对于实数x，不等式1≤｜x－2｜≤7等价于（）（A）x≤1或x≥3（B）1≤x≤3（C）－5≤x≤0（D）－5≤x≤1或3≤x≤9（E）－6≤x≤1或3≤x≤10②不等式｜x－1｜+｜x+2｜5的所有的实数解的集合是（）（A）23xx：(B)21xx：(C)12xx：(D)5.35.1xx：(E)φ（空集）