初中数学竞赛辅导资料(59)

212初中数学竞赛辅导资料（59）“或者”与“并且”甲内容提要1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的.例如：①正整数a是3或5的倍数，那么a=3,5,6,9,10,12,15……；如果正整数b是3的倍数且是5的倍数，那么b=15，30，45，60，…….在正整数中，设3的倍数的集合为P，5的倍数集合为Q，那么：a是P和Q两个集合中的所有元素，而b是这两个集合中的公共元素.②.12yx，是方程x+y=1的一个解.这里的大括号表示“并且”即当x=2并且y=－1时，等式x+y=1成立..12yx，等价于x=2并且y=－1.记作12yxx=2并且y=－1.x=2,x=－2是方程x2－4=0的两个解.即当x=2或者x=－2时，等式x2－4=0成立.x=2或x=－2可记作x=±2.即x=±2x=2或x=－2.2.用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.①.x≥4x4或x=4.②.－4x4x－4且x4.44xx，③.x≠2x2或x2④.x≠±2x≠2且x≠－222xxx－2或－2x2或x2(实数x记在数轴上)如图：－2023.判断带有“或者”词义的命题的真假：第一种，命题结论带有“或者”的.例如：⑤命题3≥2，读作3大于2或等于2，它是真命题.因为“3大于2”，“3等于2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题.⑥命题“如果a=0,那么a2≥0”，也是真命题，因为这个命题等价于：若a=0,则a20或a2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可.213第二种，命题的题设出现“或者”的.例如⑦命题“如果a≥0，则a2=0”.读作如果a=0或a0,则a2=0.它是假命题因为命题的两个题设都使结论成立是不可能的.这个命题等价于：若a=0,则a2=0且若a0，则a2=0.两个命题要同时成立才是真命题.⑧方程和方程组的解：方程(x－a)(x－b)=0，同解于x－a=0或者x－b=0.方程组.00bxax，同解于x－a=0并且x－b=0.⑨不等式和不等式组的解集：不等式组.00bxax，等价于x+a0并且x+b0.不等式(x+a)(x+b)0等价于；，00bxax或者.00bxax，乙例题例1.写出下列命题的等价命题：①实数a,b,c都不为零；②实数a,b,c不都为零；③x=±3且y＝±2；④.044xx，解：①.a,b,c都不为零.a≠0且b≠0且c≠0.000cbaabc≠0.②.a,b,c不都为零a,b,c中至少有一个不为零.a≠0或b≠0或c≠0.不是a,b,c都等于零.a2+b2+c2≠0.③.x=±3且y＝±223yx2233yyxx或或；，23yx或；，23yx或；，23yx或.23yx，④..044xx，0044xxxx或；，，044xxx或.044xxx，，214例2.解方程组.64222yxx，解：由x2=4，得x=±2.把x=±2.代入4＋y2=6，得y=±2.∴原方程组的解是.22yx，即原方程组有四个解：；，22yx；，22yx；，22yx.22yx，例3.已知：a,b,c是△ABC的三边，试按下列条件判定三边之间的大小关系：①（a－b）(b－c)=0；②（a－b）2+(b－c)2=0.解：①∵当a－b=0或b－c=0时，等式成立.∴a,b,c三边的大小关系是：a=b；或b=c；或a=b=c.②∵当（a－b）2＝0且(b－c)2＝0时，等式成立.∴.00cbba，∴a,b,c三边的大小关系是：a=b=c.例4.x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？①xx31；②x41.解：①xx31有意义..0301xx，.31xx，这个不等式组的解集，是－1≤x≤3.∴当－1≤x≤3时，xx31有意义.②x41有意义..040xx，.160xx，∴这个不等式组的解集，是：x≥0且x≠16.016215即当0≤x＜16或x16时，x41有意义.例5.绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义，解不等式：①x＜5；②y＞3.解：①x＜5，就是表示x的点离开原点的距离小于5.（如图）即x－5且x5.∴x＜5的解集是－5＜x＜5.－505②y＞3，就是表示y的点离开原点的距离大于3.（如图）－303即y－3或y3.∴y＞3的解集，是；y－3或y3.例6.已知：方程0221xtx无解.求：t的值.（1987年泉州市初二数学双基赛题）解：去分母，得x+2+t(x－2)=0.整理为关于x的一次方程，(t+1)x=2(t－1).当.0)1(201tt，时，原方程无解.解这个方程组，得：t=－1；当x=2或x=-2时原方程也无解.（∵这是增根）.分别以x=2，x=－2代入方程(t+1)x=2(t－1).当x=2，t无解；当x=－2时，t=0.综上所述，当t=－1或t=0时，方程0221xtx无解.丙练习591.填空：①当a=＿＿＿＿＿＿＿时，)3)(11aa（没有意义.②当x＿＿＿＿＿＿＿＿时，912x有意义.③当x＿＿＿＿＿＿＿＿时，31xx在实数范围内有意义.216④当整数b=__________时，b3的值是整数.⑤方程x+y=2的正整数解是＿＿＿＿＿＿，非负整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿.⑥平面内不重合的两条直线的位置关系有＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑦经过一点有一条＿＿只有一条直线和已知直线垂直.2.用“或者”或“并且”连接词写出下列命题的等价命题①x≠0＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②a≠±3＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.③－3＜x≤2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.用含有“或者”或“并且”的连接词叙述下列命题，并判断其真假.①如果x2=16，那么x=±4.②如果a=±3，那么a=3.③如果x=0，那么x2≥0.④如果y≥0，那么y20.⑤如果x＜4，那么－4x4.⑥如果y≥2，那么y≤－2或y≥2.⑦如果x是实数，那么x2+1≥0.…..⑧如果x≥－3，.那么3x＝x+3.4.x取什么值时，下列各式能成立？①（x-2）(x+3)=0；②(x+1)(x-2)0；③2＜x－15.5.解方程组.1322yxx，6.解不等式组.253xx，7.若a是不为0的实数，那么根式a1的取值范围是什么？(1989年泉州市初二数学双基赛题)8.a,b是实数，若要由a2b2能得出ab,那么a,b应满足什么条件？(1989年泉州市初二数学双基赛题)9.△ABC中∠A≤∠B≤∠C且2∠C=5∠A，那么∠B的取值范围是什么？(1989年泉州市初二数学双基赛题)10.a,b,c三实数不都是零，可表示为()(A)a+b+c≠0.(B)abc≠0.(C)a2+b2+c2≠0.(D)ab+bc+ca≠0.11.已知最简根式aba2与ba7是同类根式，那么应满足条件的a,b的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.(1989年泉州市初二数学双基赛题)12.方程x=ax+2有一个负数根且没有正数根，那么a的取值范围是____________.(1987年全国初中数学联赛题)