初中数学竞赛辅导资料(58)观察法

208初中数学竞赛辅导资料（58）观察法甲内容提要数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证.敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系.一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n次方程有n个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式.对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.乙例题例1.解方程：x+x1=a+a1.解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知x=a；或x=a1.观察本题的特点是：左边x11x,右边a11a.（常数1相同）.可推广到：若方程f(x)+amaxfm)(（am≠0），则f(x)=a；f(x)=am.如：方程x2+22255aax,x2+3x－83202xx(∵8=10－1020).都可以用上述方法解.例2.分解因式a3+b3+c3－3abc.分析：观察题目的特点，它是a,b,c的齐三次对称式.若有一次因式，最可能的是a+b+c；若有因式a+b－c,必有b+c－a,c+a－b；若有因式a+b,必有b+c,c+a；若有因式b－c,必有c－a,a－b.解：∵用a=－b－c代入原式的值为零，∴有因式a+b+c.故可设a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].比较左右两边a3的系数，得m=1,比较abc的系数，得n=－1.∴a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)209例3.解方程xx3333.分析：观察题目的特点猜想xx3用自身迭代验证：x=xxxx3333333333.解：∵x=x3，可化为x－2－x－3=0,∴x=2131.经检验2131是增根.∴原方程只有一个实数根x=2131.例4.求证：1))(())(())(())(())(())((bcacbxaxabcbaxcxcabacxbx.证明：把等式看作是关于x的二次方程，最多只有两个实数根；但x=a,x=b,x=c，都能使等式成立，且知a≠b≠c，这样，方程就有三个解；∵方程的解的个数，超过了方程的次数.∴原等式是恒等式.证毕.例5.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形ABCD内接于圆，边长依次为25，39，52，60，那么这个圆的直径长等于（）（A）66.（B）65.（C）63.（D）62.2.直角梯形ABCD的垂腰AB=7，两底AD=2，BC=3，如果边AB上的一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似.这样的点P有几个？答：()(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.解：1.选(B)；2.选(C).1.观察数字的特征:∵25∶60∶65=5∶12∶13；39∶52∶65=3∶4∶5都是勾股数.∴直径等于65，故选(B)2.观察相似比可以是BCAD或PBAD.设AP为x,则xx732；或372xx.解得：x=2.8，x=1，或x=6.共有三解.故选(C).(1)(2)5239256560BABCDDACP210丙练习58一.填空题1.三角形的三边长分别为192，256，320.则最大角等于____度.2.化简48(72+1)(74+1)(78+1)……(7n2+1)+1=______.3.方程x2－(4+3)x+3+3=0的两个解是______.4.方程x3+2x2+3x+2=0的实数根是__________.5.方程0212222xxx的实数解是_______.6.若x,y为实数且x+y=a,xy=b,则x2+y2=_________.7.方程2222212121212x的解是__________.8.写出因式分解的结果：①x3－7x2+36=______________.②(a+b－c)3－(a3+b3+c3)=_______________.9.方程(a－x)3+(b－x)3=(a+b－2x)3的三个解是_____，_____，______..10.方程组zz的实数解是：wzyx11.有一个五位正奇数x，将x的所有2都换成5，所有5都换成2，其他的数字不变，得到一个新五位数记作y，若x,y满足等式y=2(x+1),那么x是___________(1987年全国初中数学联赛题)12.如左图试问至少要用几种颜色，才能给图中的各边正常着色.(正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上不同的颜色)(1983年福建省初中数学竞赛题)二.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形的边a,b,c,d,满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是()(A)矩形.(B)菱形.(C)等腰梯形.(D)不等边的四边形.2.当k0时，函数y=kx+k与y=xk图象在同一直角坐标系内是()abcdefg2-2-55Bqx=-x+1hx=1x-2-55Cgx=x+1fx=1x-2-55Dgx=x+1fx=-1x-2-55Aqx=x-1hx=1x2113.实数a和b，ab0,a+b0,a－b0,则a,b的大体位置是()4.a=1+b1,b=1+a1,a,b都不等于0，那么b=().(A)a.(B)–a.(C)a－1.(D)1－a.5.a,b,c中至少有一个是零，可表示为()(A)a+b+c≠0(B)abc≠0.(C)a2+b2+c2≠0.(D)ab+ca+bc≠0.三.解方程：1.x2+2x+323222xx；2.21142322132422222xxxxxxxx；3.xx2222.四.求证：2222))(())(())(())(())(())((xbcacbxaxcabcbaxcxbcabacxbxa.五.已知：x4+x3+x2+x+1=0.求：x1989+x1988+x1987+x1986的值.参考答案初三上参考答案（6）练习58一.1.902.712n　3.1，3＋34.－15.－26.a2－2b,当a2－2b＜0时无解7.2，－28.②3（a+b）(b+c)(c+a)9.a,b,2ba10.x=y=z=w=±17二.①B②C③C④A⑤C三.①－3，1，2153－②－41，－1，－5③2（增根－1）四.（仿例4）五.已知两边乘以x-1得x5=1,原式=x1985(x4+x3+x2+x)=1×(-1)=-1(D)(C)(B)(A)a0ba0ba0bb0a