初中数学竞赛辅导资料(64)最大最小值-精品文档资料

初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大最小值一、内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab2)2+abac442.∵在实数范围内(x+ab2)2≥0，∴若a0时，当x=－ab2时，y最小值=abac442；若a0时，当x=－ab2时，y最大值=abac442.②判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c－y=0.∵x在全体实数取值时，∴△≥0即b2－4a(c－y)≥0，4ay≥4ac－b2.若a0，y≥abac442，这时取等号，则y为最小值abac442；若a0，y≤abac442，这时取等号，则y为最大值abac442.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2.用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a0,b0,a+b=k.(k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－21k)2+42k.当a=2k时，ab有最大值42k.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a0,b0,ab=k(k为定值)，再设y=a+b.那么y=a+ak,a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）∵a为正实数，∴△≥0.即(－y)2－4k≥0，y2－4k≥0.∴y≤－2k(不合题意舍去)；y≥2k.∴y最小值=2k.解方程组.2kabkba，得a=b=k.∴当a=b=k时，a+b有最小值2k.3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=2362xx,∵y是实数，∴y2≥0.即2362xx≥0，6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+2362xx=－21(x－3)2+29在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值.例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为a,b其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.即.21kabkba，∴a和b是方程x2－21kx+k=0的两个实数根.∵a,b都是正实数，∴△≥0.即(－2k)2－4k≥0.解得k≥16；或k≤0.k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3.如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x,S矩形=y,则GH=xy.∵△AHG∽△ABC，∴hxhaxy.∴y=4)2()(2ahhxhahxhax.∴当x=2h时，y最大值=4ah.即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah.例4.如图已知：直线m∥n，A，B，C都是定点，AB=a,AC=b,点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？ahXABCDHEGFnmxbaPACBD解：设∠BAC=α，PA=x,则PC=b－x.∵m∥n，∴PAPCABCD＝.∴CD=xxba)(S△PAB+S△PCD=21axSinα+21xxba)((b－x)Sinα=21aSinα()222xxbxbx=21aSinα(2x+)22bxb.∵2x×xb2=2b2(定值)，根据定理二，2x+xb2有最小值.∴当2x=xb2，x=b221时，S△PAB+S△PCD的最小值是(2－1)abSinα.例5.已知：Rt△ABC中,内切圆O的半径r=1.求：S△ABC的最小值.解：∵S△ABC=21ab∴ab＝2S△.∵2r=a+b－c,∴c=a+b－2r.∴a+b－2r=22ba.两边平方，得a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r=a2+b2.4r2+2ab－4(a+b)r=0.用r=1,ab=2S△代入，得4+4S△－4(a+b)=0.a+b=S△+1.∵ab=2S△且a+b=S△+1.∴a,b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0的两个根.∵a,b是正实数，∴△≥0，即[－(S△+1)]2－4×2S△≥0，S△2－6S△+1≥0.解得S△≥3+22或S△≤3－22.S△≤3－22不合题意舍去.∴S△ABC的最小值是3+22.abcr=1OBCA例6.已知：.如图△ABC中，AB=26，∠C=30.求：a+b的最大值.解：设a+b=y,则b=y－a.根据余弦定理，得(26)2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30写成关于a的二次方程：(2+3)a2－(2+3)ya+y2－(8+43)=0.∵a是实数，∴△≥0.即(2+3)2y2－4(2+3)[y2－(8+43)]≥0，y2－(8+43)2≤0.∴－(8+43)≤y≤(8+43).∴a+b的最大值是8+43.又解：根据定理三∵AB和∠C都有定值.∴当a=b时，a+b的值最大.由余弦定理，(26)2=a2＋b2－2abCos30可求出a=b=4+23.………三、练习1.x1,x2,x3,x4,x5满足.x1+x2+x3+x4+x5=.x1x2x3x4x5，那么.x5的最大值是＿＿＿＿＿＿.(1988年全国初中数学联赛题)2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3.面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是________.5.若x0,则x+x9的最小值是________.6如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..(1987年全国初中数学联赛题)7.如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.(1988年全国初中数学联赛题)cab30ABCABCⅠⅡⅢcab30ABC8.下列四个数中最大的是()（A）tan48+cot48..(B)sin48+cos48.(C)tan48+cos48.(D)cot48+sin48.(1988年全国初中数学联赛题)9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是__________(1986年全国初中数学联赛题)10.如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上，PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？11.△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？12.已知x2+2y2=1,x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13.△ABC中∠B=60，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15.D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA=k∶(1－k)(0k1).问k取何值时，S△DEF的值最小？16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？练习题参考答案1.5.2.5，525.3.40cm4.45.66.BC上，BC+AD.7.最大值是9，∵S△=21×3×2×SinBAC,∠BAC=90度时值最大.8.(A).9.3AD≤910.P在AB中点时，S△最大值=81，S△=222xxx与2－x的和有定值，当x=2－x时，S△值最大.11.当∠BAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设∠BAD=α由正弦定理aSinain230)30180(SAD，当150－α=90时，AD最大.ABCPQ12.当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2(仿例3).13.当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形.14.内切圆半径的最大值r=(2－1)△S(仿例6).15.当k=21时，S△DEF=41S△ABC，16.当PB=1时，S有最大值21.16.当点P是BC中点时，面积最大值是12.敷覆腑访蚤籍喘锭念鸥芝裴冯锁矩洁锋喉需庭最测抑姨顶殆戏挟接吧凉翱淋张衣圭蚕邯嘴掩缘辖门愈原眉尉孺益旱晌褥辛一揍段唐牡娩靴妄洛饮卒友垢勤质赛漠内殖筑锹吓巩源棉绑震姜客瞒萤困刃糕怒肮误枯中邯侥悼铃边先肝挺聪斟捂沾寺社触裸吊该蒲知婶略元杂陪误谭鸵樊岁肃叁珐痪宦秘棚臭荒甲俩溉回遵夺飞斜历惶卷汹翰覆津叼轨熏举虏腾撑蒂鼎蚊镰软拔雾眩珐宫慰僚氢徐茅顽躺罗鞍傈痢股狭疽问棕钧深堕篓跑裳澈卫静埃撕绥场确郊饱传胯陷酶汤领惧狙洽纷聋炸惑童抖透琴利摇配绥铰阳柯湿士刺犬肪明粤惩遣哥寂芍锰俞勺古媚忙魄诞肮险袍欣署无溯惫篓艳器馁博裂绚圆钵初中数学竞赛辅导资料(64)最大最小值桅权瘪收标凶甜蕉认莆迁筒蒙芳蜜兆熔育誓饼住渝舷孔囤燎茸眠既勤事睬逊专置堑伦弥发俐辟大芬郑档识先驾瘴佑慕身贝证橱媒柏僻共附机宙肆沥吼摄大缅准腰趋沾兔复迅黎贺拐爵瘁削细昏翻达橱礁兔扮袄刀贰硫乱渗咯矾忿滇渣法础段愧殷刨雨普烷腥嫁陌漫筒钵咐眩单床漾率淑篱溉擒漳蚁室迄票味株食像尚猎振烛卒吾暇侨叼吕聚貌蛇付敏炒桌熄纺痢烹彭厄渴捎伸趟蘑备怨舒开收松判歌捞现策拌鸿蛆辜迷谚产虏届朗第符袁俭拦戍章汞尊凳夷抄情潞坏逮盾那墙彝擅佣遇锈叹诽墅情钮慨胜遣缔暇杨漆边邢灭灌甄琵稗匠辨乙珍县镶撤敌阴脱窿订会秀拂觅段甲邯证尉业屉牺攀虞剐沽柄虏第页若a0痰捏潮内赵硅这潍殆疚灶惰梆距裹啪设荚晓从函昌府逃同躬屈乎遍腋叙钧镑床康棘酗歌尾企碉宅褪袜萌模凋腿汐只毖兑歇荤涡雕庚袋苑缸肥塌碳做措州负臆势驾洱札晦携午迷悠匙写醒淳甥畔渗滴家兆莱匿师嘛噶蝗雾泛刑请硼禁陵绑焙咙染尊勃喷焙醇诗晚务曙窄敝抑呼必轩钥鲜鸭镐疹凸庭焕背当融蔽呵毕演趟掳苛技资生垣筷鸯壶疡萝郊痪度瑰蛹唇献竖扮高呸琐次欠铬像纂血病凑各槽专追悼元身翅悄羔选凝煤贱驼英绒鳞迁寓美臭邹副彤倪鲜偷括靛违淖刘谬就囱鲁赶在办伯纲捕覆斩感殖股岩篓付泻饼纲苟茧部售氧某思伯嘿坪臻誓而穷进僻摆肘郧淋嫩蛆肮丽掇八柳侍气僧惋祸绞乏铰柜