胡不归阿时圆

浅谈线段之和“胡不归”【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点D，小伙子从A走到D，然后从D折往B，可望最早到达B。用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为1V，在沙地上行走的速度为2V，即求21VBDVAD的最小值.例题1、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为_______解析：∵正方形ABCD为轴对称图形∴AP=PC∴AP+BP+CP=2AP+BP=)21(2BPAP∴即求BPAP21的最小值接下去就是套路我们要构造一个BP21出来连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AF⊥BE，垂足为F在Rt△PBF中∵∠PBF=30°∴BPPF21由此我们把BP21构造出来了∴BPAP21的最小值即为AF线段的长∵∠BAE=45°，∠AEB=60∴解直角△ABE，得AO=BO=2，OE=36，OB=362根据面积法，AE21·BO=BE21·AF求出AF=62总结步骤：第一步：将所求线段和改写为PBmnPA的形式（mn＜1）第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=mn第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：ABCDP练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行使练习3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；练习5如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（阿氏圆问题）阿氏圆也是形如PBmnPA的形式（mn＜1）最终还是化分为整。概念：又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：PCkPD第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPmOD；第四步：在OD上取点M，使得OMmOP；第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．135lBA第28题图2xyMNPBAOEE'第28题图1xyMNPBAOE例1.在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8,AC=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD、CD，则错误!未找到引用源。BD+AD最小值解析：根据阿氏圆定义CD/BC=1/2为定值，不妨设BC与圆C交与E点取EC中点F,由已知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,且∠FCD=∠DCB所以△FCD相似于△DCBFD=错误!未找到引用源。BD所以错误!未找到引用源。BD+AD=FD+AD错误!未找到引用源。AF由勾股定理可得AF=2错误!未找到引用源。图1图2阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题例1、如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若12CC＝65，求m的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋23E′B的最小值．解：（1）抛物线的函数表达式为：y＝－34x2＋94x＋3．直线AB的函数表达式为：y＝－34x＋3．（2）根据题意，得OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，点P的坐标可表示为(m，－34m2＋94m＋3)．∴PE＝－34m2＋94m＋3……………………………………………………①∵△AEN∽△AOB，∴ANAB＝NEBO＝AE4．∴AN5＝NE3＝4－m4．∴AN＝54(4－m)，NE＝34(4－m)．∵△PMN∽△AEN，且12CC＝65，∴PNAN＝65．∴PN＝65AN＝65×54(4－m)＝32(4－m)．∴PE＝NE＋PN＝34(4－m)＋32(4－m)＝94(4－m)……...②答案图xyFBAOEE'由①、②，得－34m2＋94m＋3＝94(4－m)．解得m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．∴m的値为2．（3）在（2）的条件下，m的値为2，点E（2，0），OE＝2．∴OE′＝OE＝2．如图，取点F(0，43)，连接FE′、AF．则OF＝43，AF＝42＋(43)2＝4310．∵OFOE′＝432＝23，OE′OB＝23，且∠FOE′＝∠E′OB，∴△FOE′∽△E′OB．∴FE′E′B＝23．∴FE′＝23E′B．∴E′A＋23E′B＝E′A＋FE′≥AF＝4310．