2016中考复习-二次函数

宇轩图书第14讲二次函数宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．2．二次函数的三种基本形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；考点一二次函数的定义宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)函数a0a0图象考点二二次函数的图象和性质宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)a0a0开口抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴、顶点对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)函数a0a0增减性在对称轴的左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而增大，简记为“左减右增”在对称轴的左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而减小，简记为“左增右减”宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)函数a0a0最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练注意：当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c.若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0；若a－b＋c＞0，即当x＝－1时，y＞0.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：考点四二次函数图象的平移宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示二次函数图象间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．考点五二次函数解析式的求法宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般式．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化.将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练二次函数的应用包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系；(2)用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．考点六二次函数的应用宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点一求抛物线的顶点、对称轴、最值例1(2013·镇江)二次函数y＝x2－4x＋5的最小值是()A．－1B．1C．3D．5【点拨】∵y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，∴当x＝2时，二次函数y＝x2－4x＋5的最小值是1.故选B.【答案】B宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝ax－h2＋k的形式，得到：对称轴为x＝h、最值为y＝k、顶点坐标为h，k；也可以直接利用公式求解.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点二二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例2(2013·襄阳)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2【点拨】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.故选B.【答案】B宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结当二次函数的解析式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：1用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；2在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；3根据二次函数的性质，结合函数图象比较.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点三用待定系数法求二次函数的解析式例3(2013·湖州)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3,0)，B(－1,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式及用公式法求抛物线的顶点坐标．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解：(1)解法一：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3,0)，B(－1,0)，将这两点分别代入抛物线解析式中，得－9＋3b＋c＝0，－1－b＋c＝0.解得b＝2，c＝3.∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解法二：∵抛物线与x轴的两交点为(3,0)，(－1,0)，且y＝－x2＋bx＋c，∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(2)解法一：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．解法二：∵x＝－22×－1＝1，y＝4×－1×3－224×－1＝4，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结1.设一般式：y＝ax2＋bx＋ca≠0，若已知图象上的任意三个点，则设一般式求解析式.2.设顶点式：y＝ax－h2＋ka≠0，若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求解析式，最后化为一般式.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3.设交点式：y＝ax－x1x－x2a≠0，若已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为x1，0，x2，0时，可设交点式求解析式，最后化为一般式.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点四抛物线与几何变换例4(2013·恩施州)把抛物线y＝12x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为()A．y＝12(x＋1)2－3B．y＝12(x－1)2－3C．y＝12(x＋1)2＋1D．y＝12(x－1)2＋1宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】解法一：抛物线y＝12x2－1的顶点坐标为(0，－1)，将点(0，－1)先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得到的点为(1，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y＝12(x－1)2－3.故选B.解法二：根据抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”可得平移后的解析式为y＝12(x－1)2－1－2，即y＝12(x－1)2－3.故选B.【答案】B宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结抛物线的变换不改变图象的形状和开口大小，只改变位置和开口方向，故可通过确定顶点坐标、开口方向确定变换前后的解析式.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点五二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与a，b，c的关系宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练例5(2013·广安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc0；②2a＋b＝0；③b2－4ac0；④4a＋2b＋c0.其中正确的是()A．①③B．只有②C．②④D．③④宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】由抛物线开口向上，得a＞0.由对称轴在y轴右侧，得b＜0.由抛物线与y轴交于正半轴，得c＞0.∴abc＜0，∴①错误；由对称轴－b2a＝1，得－b＝2a，即2a＋b＝0，∴②正确；由抛物线与x轴有两个交点，得b2－4ac＞0，∴③错误；由抛物线的对称性可得，当x＝2时，y＞0，即4a＋2b＋c0，∴④正确．故选C.【答案】C宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴是y轴；a，b同号⇔对称轴在y轴左侧；a，b异号⇔对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图象上横坐标x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点六二次函数的应用例6(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】本题考查二次函数的实际应用，建立二次函数模型，利用二次函数的最值解决实际问题．解：根据题意，得y＝20x(1802－x)，整理，得y＝－20x2＋1800x.∵y＝－20x2＋1800x＝－20(x2－90x＋2025)＋40500＝－20(x－45)2＋40500，∵－20＜0，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∴当x＝45时，函数有最大值，y最大值＝40500，即当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大为40500cm3.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结常利用二次函数的知识解决以下几类问题：最大利润问题、求几何图形面积或体积的最值问题、拱桥问题、运动型几何问题、方案设计问题等.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是(D)A．(－1,2)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(1,2)解析：形如y＝a(x－h)2＋k形式的二次函数的顶点坐标为(h，k)，故y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是(1,2)，故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基