等差数列的性质(公开课)

1、一个定义：an-an-1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）或an+1-an=d（d是常数，n∈N*）一个公式：an=a1+（n-1）d复习主要学习：或an=am+(n－m)d两种判定方法：定义法、通项公式法两种思想：方程思想、函数思想,qpnanmnaadmnnnnnnaSaana求项之和，若是前中，数列,31,1S}{.111.})32)(4({.2kknnn项，求中的最大项是第若数列.}{,}{.312是等差数列求证：数列为实数），、（的通项公式为已知数列nnnnaaqpqnpnaa.,35lg}{.412列判断数列是否为等差数中，在数列nnnaa.,.02的取值范围是单调增数列，求实数若数列的通项公式为设数列kaknnaannn在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2，()，4（2）-12，()，03-6如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。2baA思考等差中项的定义ba,,32ba由定义有等差数列,,,,,,,,114321nn。

2、naaaaaaa,11nnnnaaaa112nnnaaa即成等差数列的三个数之和为27，第一个和第三个之积为80，求这三个数。成等差数列的四个数之和为25，第二个和第三个之积为40，求这四个数。变式应用综合应用等差数列的性质高中数学欢迎指导诱思探究成立吗？为什么？则若是等差数列已知）（呢？成立吗？）（qpnmnaaaaNqpnmqpnmaaaaaaaaa),,,,(,21*73644251已知等差数列2，4，6，8，10,12，14，16，…qpnmnaaaaNqpnmqpnma),,,(*是等差数列，则等差数列性质1等差数列性质1的推论knmnaaaNknmknma2),,(2*是等差数列，则练习3：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝___.10练习1：如果数列{an}是等差数列，则()BA．a1＋a8a4＋a5C．a1＋a8a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5D．a1a8＝a4a5练习2：(2010年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则)Aa5的值为(A．5C．8B。

3、．6D．10(1)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求3a9－a13.(3)在等差数列中，已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.(4)数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15．例3∶若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75(2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．.,39,45}{)3(963852741aaaaaaaaaan求是等差数列，且若【例3】等差数列an的首项为1，且an从第9项开始各项均大于25，求公差d的取值范围．}(5){};(4){};1(3){};(2){};(1){c)(}{12k1nnn2nnaaaaaaan等差数列的是是等差数列，则下列是补：已知数列2n－3则此数列的通项an为()A．2n－5C．2n－1B．2n－3D．2n＋12．数列{an}为等差数列，a2与a6的等差。

4、中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列的通项an为________．【变式与拓展1】1．已知等差数列{an}的前3项依次为a－1，a＋1,2a＋3，B题型2等差数列性质及应用例2：在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.自主解答：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17.解a2·a5＝52，a2＋a5＝17，得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4.∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.变式训练2(1)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求3a9－a13的值．解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，。

5、∴a2＋a8＝2a5＝180.(2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.【变式与拓展2】3．(2010年全国)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()CA．14B．21C．28D．354．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：∵a1＋a17＝a5＋a13，∴a1－a5＋a9－a13＋a17＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.例3∶若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．[解]方法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.∴a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.∴a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.方法2：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．∴a60＝。

6、a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.变式训练3已知数列{an}为等差数列．(1)若a15＝10，a45＝90，求a60；(2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．解：(1)∵在等差数列{an}中，a15，a30，a45，a60成等差数列，∴a30＝a15＋a452＝10＋902＝50，∴a60＝2a45－a30＝2×90－50＝130.(2)a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋2d×33＝50－66×2＝－82.1．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数为()A．0B．1C．2D．1或2解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.答案：D题型3等差数列性质的综合应用【例3】等差数列an的首项为1，且an从第9项开始各项均大于25，求公差d的取值范围．错解：设an的公差为d，第n项为an，则a9＞25∴1＋8d＞25，∴d＞3错因分析：从第。

7、9项开始各项均大于25隐含a8不大于25这一条件．正解：设an的公差为d，第n项为an.依题意，得a9＞25，a8≤25，即1＋8d＞25，1＋7d≤25.解得3＜d≤247.纠错心得：此数列是递增数列，要注意隐含条件a8≤25.例4：一梯子上窄下宽，最高一级宽40cm，最低一级宽80cm，中间还有9级，各级的宽度构成等差数列，求中间各级的宽度．易错点评：易将梯子的级数弄错，要注意梯子共有11级，40cm是第1级，80cm的是第11级．试解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝40，a11＝80，n＝11，由通项公式，得a11＝a1＋10d，即80＝40＋10d，解得d＝4.因此a2＝44，a3＝48，a4＝52，a5＝56，a6＝60，a7＝64，a8＝68，a9＝72，a10＝76.。