连续介质力学-第2章-四川大学

《连续介质力学》连续体假说连续体：指在物体所占据的空间中，物质是无间隙地连续地分布的0limnnvnmV特征尺寸适用范围：只要研究对象的特征尺寸比物质微粒的尺寸大上几个数量级，这一模型就是充分有效的。水分子的直径是10-10m，在10-6m的范围内，水就可以处理为连续体。红血球的直径约8×10-6m，在直径为5×10-3m的动脉血管中，血液就可以处理为连续体。毛细血管的内径和红血球相当，血液就不能被当作连续体。2.1构形系统所有质点在给定时刻的位置的集合称为系统在该时刻的构形参考构形即时构形t＝0t＝T运动01X1x2X2xxX03X3xPpu运动的两种描述方法物质坐标：X空间坐标：x物质描述（Lagrange描述）)(ˆt,Xxx),(ˆtX空间描述（Euler描述）),(txXXˆ(,)xt),(txXX)(ˆt,Xxx互逆互为隐函数0332313322212312111321321XxXxXxXxXxXxXxXxXxXXXxxxJ),,(),,(连续体在变形过程中不会产生空隙或物质重叠的情况位移：XxuXXxXu),(),(tt),(),(ttxXxxu2.2刚体运动3X1X2X3X2X1XooXx)()(tt0xXQX)))))))))Q332313322212312111cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(eeeeeeeeeeeeeeeeee，，，，，，，，，刚体：两个质点变形体：所有质点uXxuxuxuXuIxuXxxuXu当时，略去二阶小量，1MiXuxuXu小变形假设小变形与大变形（真实变形）的区别2.3.1小变形的分解位移关于物质坐标的梯度xXPpaAdxdX()uA()uPOXuuXXuuudd)()()()(PPAPXΩEuud)()()(PA小应变张量:)(uuE21),,(MNNMMNuuE21332332133123322212211331122111212121212121XuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuE2X1XbaabPABpO21cos12!papapa,1111ddXXuXappa2222ddXXuXbppb11XuPAPApa22XuPBPBpb12111112d1dtgXuXXuXXuapaa21222221d1dtgXuXXuXXubpbb122112122EXuXu332332133123322212211331122111212121212121XuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuE332332133123322212211331122111333231232221131211XuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuEEE工程应变小应变张量小旋转张量:)(uuΩ21),,(MNNMMNuuΩ21021212102121210322331132332211213311221XuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuΩ2X1XbaabPABpOqqQ21121422411()22qpquuXXTXuXuXuXuXuXu21121331322321ωXωddXNP00001cos0001cosEE和Q在小形变和小转动情况下才是足够精确的量度PyxBCA41036000441..E41002232230..Ω41009000360..E41006286280..Ω41001101100..E41006466460..ΩA点B点C点已知E任意方向上的正应变和切应变111213112321222323132333nEnTnijijEEEnEEnnnnnEEEnEEEnnEn1112131123212223231323331nEt2TntijijEEEtEntnnnEEEtEEEtnEt1x1x2x2x1x1x2x2x所求方向所求方向主应变和主方向：E是对称张量，因此E一定存在着三个实数主值（包括重根）和三个相互垂直的主方向)()()()()()()()()(M332313322212312111nnnnnnnnn),,(EMM321diagT一点处所有方向中正应变的极值（包括极大值、驻值和极小值）123,,E的三个不变量：A123ItrE22A1223311II[(tr)tr]2EEA123IIIdetE123ddddVXXX111(1)dEX222(1)dEX333(1)dEX112233123d(1)(1)(1)dddvEEEXXX112233ddIdNNvVEEEEV小应变张量E的第一不变量就是微元体积的相对增长比平均正应变与偏应变EEEEI31,I31,I31diagI31I平均正应变ppnInnEn0tIntEnp平均正应变不反映形状的变化，反映了体积的变化。IEEEI31偏应变Itr0EEtEntEIntEnEI3121应变偏量只反映形状的变化，不反映体积的变化。2.3.3相容条件123uuuu332332133123322212211331122111212121212121XuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuEOE单连域:必要的，充分的多连域:必要的，不充分的BAABuuAABB位移单值条件：位移应力应变位移应力应变相容条件2.4运动的描述2.4.1物质导数空间坐标保持不变xttt),(xΠΠ局部导数物质坐标保持不变Xttt),(XΠΠΠDD物质导数ttDDDDΠXXΠttDDDDΠxxΠtttDDDDDDBABA)(tttDDDDDDBABABA)(DD()DDDDuXtttxxvtDDvvvΠΠΠvΠΠ)()(tttDD)(vvvvt123123,iijijiiiivvvvtvvvvvvvtxxx例2.8物体进行着如下的运动：)(2111atXx22Xx33Xx其中a为常数。求用两种描述表达的位移、速度和加速度。解：运动表达式是物质描述的:位移：12111XatXxu0222Xxu0333Xxu速度：1112uvatXt02v03v加速度：112aXv02v03v位移：21211atxatu02u03u速度：21112atatxv02v03v加速度：21112ataxv02v03v物质描述空间描述2.4.2速度场及速度梯度张量迹线流线质点的运动轨迹某一瞬时流经这些空间点的质点的速度。速度梯度张量xvvLjiijvL,xLvddx点邻域的dv是处的速度对x点处的速度的偏离xxdWDL加法分解)(vvD21),,(ijjiijvvD21332332133123322212211331122111212121212121xvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvD形变率张量DDD(d)ddDDDdddtttxxxXXXXvvxXXLxXxX微元线段dx的物质导数：记ds是微元线段dx的长度（即dx=nds）)()()(xxddDDd21dDDd21dDD2tsstsst)()(xLxxLxxLxxxLddddd21ddddd21Tssssdddd1)(nDnxDxnDntssDdDd1)(iiiiDeDeD的对角线元素Dii表示的是即时构形上沿坐标轴方向上的单位长度的伸长速率。stststsdDDdDDdDDddnnnnLxL)()(xLvddstsdDDdnnDnn)(nnDnnLn)(tDD)()(21cosnnttDDDDsin2121)()()()(nnnn)()()()((2))()()()()()(2222(1)1111nnDnnLnnnnDnnL)()()()()()(2121212nDnnLnnLnT(1)(2)nnDDt)()(212nDn21ijD(1)ien(2)jenD的非对角线元素Dij表示的是沿坐标轴和方向的两个微元线段的夹角减小速率的一半。ixjx形变率张量D作为对称张量，同样具有下列性质：在即时构形中任意指定的点上，过该点的各个方向上微元线段的时间变化率的极值就是形变率张量的主值，极值所在的方向就是形变率张量的主方向。存在着三个两两正交的主方向。两个主方向间的夹角的瞬间变化率为零。WDL1()2Wvv1(,,)2ijijjiWvv涡旋张量021212102121210322331132332211213311221xvx