2.2.1向量加法运算及其几何意义

2.2平面向量的线性运算--向量的加法复习引入向量的定义以及有关概念.向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置.乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？台北香港上海ABC向量加法的三角形法则：abbaabCAB,,,,abAABaBCbACabababABBCAC、内点，则与，记则这称为已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即种求向量和向量加法的三角方法，形法的。首尾相接，连端点向量加法的平行四边形法则：OABCabba,OabOACBOOCaabbabOAOBOC点为点两个为邻边则为点对线与这平行四边则称为以同一起的已知向量、作,以起的角就是的和即向量加法的种求向量和的方法，形法。起点相同，连对角aaaa00,我们规定对于零向量与任一向量对于向量的加法的理解需要注意:两个向量的和仍然是向量(简称和向量).例1.如图，已知向量，求做向量。,ababab则。OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbb例1.如图，已知向量，求做向量。,ababab作法2：在平面内任取一点O，O作，，OAaOBbaABbOAOB、以为邻边做，OACB平行四边形C.OCOAOBab连结OC，则ba平行四边形法则请同学们总结向量加法的“三角形法则”与“平行四边形”法则的联系与区别。向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系1.三角形法则中的两个向量是首尾相接的，而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点；2.三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和。3.三角形法则和平行四边法则虽然都是求向量和的基本方法。但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则。4.求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．[活学活用]如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.探究：两个向量共线时如何表示它们的和？和的模与模的和有什么关系？思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和数的加法有什么关系？abab（1）（2）||||||||||||||||ababababababba若，方向相同，则若，方向相反，则（或）||||||ababab若，不共线，则||||||ababab对任意两个向量，，有ABCBCAabab最小值各是什么的最大值和则已知||,6||,8||baba探究：数的加法满足交换律和结合律，即对任意，有,abR,abba()().abcabc那么对任意向量的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。,abOABCabbaabbaabccbcbaACDB返回向量加法的交换律和结合律(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；(2)向量加法的结合律(a＋b)＋c＝．a＋(b＋c)[例2]化简或计算：(1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.[解](1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0.[类题通法]解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.)4()3()2()1(edcdbadcba１.化简________)1(BCCDAB________)2(CBACBNMA________)3(DCCABDAB２.根据图示填空abcdefgABDECcfgfADMN0巩固练习:例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23ADBC,ADABADABABCDAC图，，，、为邻边则实际.解：（1）如所示表示船速表示水速以作表示船航行的速度例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23(2)||2,||23RtABCABBC解：在中，2222||||||2(23)4ACABBC23tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。ADBC[随堂即时演练]1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0D．CA＋AC＝MN＋NP＋PM解析：选由向量加法可知AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC.B2．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于()A．25B．45C．12D．6解析：选因为AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是45.B3.如图，在平行四边形ABCD中，(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3)AB＋AD＋CD＝________；(4)AC＋BA＋DA＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC；(2)AC＋CD＋DO＝AD＋DO＝AO；(3)AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD；(4)AC＋BA＋DA＝BA＋AC＋DA＝BC＋DA＝0.答案：(1)AC(2)AO(3)AD(4)0课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算()()abbaabcabc+=+++=++小结1.向量加法的三角形法则(要点：两向量首尾连接)2.向量加法的平行四边形法则(要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边)3.向量加法满足交换律及结合律课本84页习题（做书上）课本91页2、3作业本2.2.1作业