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当前位置:首页 > 临时分类 > 高中数学选修2-2-导数的几何意义-课件
1.1.3导数的几何意义(1)定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0000()()li.mlimxxfxxfxyxx,|)(00xxyxf或00000()()()limlim.xxfxxfxyfxxx即:我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:回顾由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:00(1)()();yfxxfx求函数的增量00()()(2);fxxfxyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx取极限,得导数下面来看导数的几何意义:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则yx请问:是割线PQ的什么?斜率!P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx211.图1234?,,,,,,,.什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211PPP大多数函数曲线就一小范围来看,大致可看作直线,所以,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,即“以直代曲”(以简单的对象刻画复杂的对象)PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数./000/0/01y=f(x)P(x,f(x))f(x)y2f(x)0,Xf(x)0,X注:()若曲线在点处的导数不存在,就是切线与轴平行。()切线与轴正方向夹角为锐角,切线的斜率为正,切线与轴正方向夹角为钝角,切线的斜率为负。201211.13,4.96.510.,,,.httthtttt例如图它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象根据图象请描述、比较曲线在附近的变化情况0l1l2lthO0t1t2t311.图.,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线.,,,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210.,,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt.,,.`,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt.,,.`,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt.,,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一)适用于各种曲线。所以,这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABC21.y=x例求曲线-1在点(-2,3)处的切线的斜率,并写出切线方程。222200:(2)(2)[(2)1][(2)1]444(1)=limlim(4)4434(2)450xxyfxfxxxyxxxxxyfxxkyxxy解切线方程为即(1)求出函数在点x0处的变化率,得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即).)(()(000xxxfxfy求切线方程的步骤:小结:无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想,丢掉极限思想就无法理解导数概念。22.y=x4π例求在曲线上切线倾斜角为的点的坐标。0022200000200000000020:()()()222()=limlim(2)21tan1214211()241124xxxyyfxxfxxxxxxxxxxyxxxxyfxxxxxkxxy解设这点的坐标为(,)解得这点的坐标为(,)课堂练习21.(),(2)2fxxf1函数=则等于_______13.f(x),f(x)x已知函数求在(1,1)处的切线方程。2.曲线y=x2在点P处切线的斜率为-2时,P点坐标为()A.(-1,1)B.(-1,1)或(1,1)C.(1,1)D.(-2,4)2AX+y-2=0解析答案过曲线上的点P(1,1)作该曲线的切线,求过点P(1,1)的切线方程3yx解题前,养成认真审题的习惯,其次,弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”,点P(1,1)尽管在所给曲线上,但它可能是切点,也可能不是切点.作业:2()2,()fxxxfx已知函数求曲线在点(1,3)处的切线的斜率,并写出切线方程。练习1线点点处线点处线318:已知曲y=x上一P(2,),求:33(1)P的切的斜率;(2)P的切方程1.1.3导数的几何意义(2)80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图..,min...,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到率物浓度的瞬时变化血管中药时估计根据图象函数图象变化的单位随时间位单物浓度表示人体血管中药它如图例ttmlmgtfc它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图31.14,(:/):min.,0.2,0.4,0.6.0.8min,0.1.cftmgmltt例如图它表示人体血管中药物浓度单位随时间单位变化的函数图象根据图象估计时血管中药物浓度的瞬时变化率精确到它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf.在此点处的切线的斜率曲线tf.,,,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411...,.,.'41804180ft所以它的斜率约为处的切线作.,,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬417004080604020.......'tft药物浓度的瞬时变化率00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时,导函数也简称导数.000()()()()().yfxxfxfxfxx函数在点处的导数等于函数的导函数在点处的函数值什么是导函数?从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f’(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一。0x0()fx()fx0xx0x0()fx()fx0x0()fx0x课堂练习:如图(见课本P10.6)已知函数的图像,试画出其导函数图像的大致形状。P11.2:根据下面的文字叙述,画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。(1)汽车在笔直的公路上匀速行驶;(2)汽车在笔直的公路上不断加速行驶;(3)汽车在笔直的公路上不断减速行驶;当堂训练1.如图,试着描述函数f(x)在x=-5,-4,-2,0,1附近的变化情况。-4-5-212yxO2.已知函数f(x)的导函数的图象如右图所示,则f(x)的图象可能是()2()fxaxbxcOyxBDCA
本文标题:高中数学选修2-2-导数的几何意义-课件
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