高一上学期(必修1、4)数学知识点总结

高一上学期（必修1、4）数学知识点总结1一、集合与元素1、集合与元素概念一般，我们把研究对象称为元素，把元素组成的总体叫集合2、集合的三种特性（1）确定性。一个元素a与集合A的关系，要么Aa，要么Aa，两者必居其一，并且只居其一；（2）互异性。就是指集合中的所有的元素彼此都不相同；（3）无序性。集合中的元素可以随意排列顺序。3、集合的表示方法（1）语言描述法。比如集合9,7,5,31，用语言描述法表示为“小于10的正奇数组成的集合”（2）列举法。例如,...9,7,5,3,1、99,...,9,7,5,3,1、庆京、上海、天津、重北（3）描述法。将集合中所有元素的共有特性用数学语言表示出来。例如01＜xRxA或者01＜xxA4、常用数集的简称（1）自然数集（非负整数集），记为N；（注意集合N中的元素为0，1，2，3，4，5，...）（2）正整数集，记为NN或*；（注意集合NN或*中的元素为1，2，3，4，5，...）（3）整数集，记为Z；（4）有理数集，记为Q；（5）实数集，记为R；5、集合的形式有数的集合、点的集合、集合的集合（其中数的集合、点的集合常用）6、子集：对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称集合A为集合B的子集，记为BA（或AB）7、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为。注意，空集是任何集合的子集8、子集的性质：①任何一个集合都是它自身的子集②若CACBBA则,,9、真子集：若集合BA，且BA，那么集合A是集合B的真子集，记为AB。注意空集是任何非空集合的真子集10、元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种，用符号、表示11、集合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种，用符号、表示；其中“包含”有“真包含”和“相等”两种，用符号、=13、并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号表示BxAxxBA或14、交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号表示BxAxxBA且高一上学期（必修1、4）数学知识点总结2二、函数概念一、映射（一）映射：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记为：:fAB，()xfx这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()fx，于是()yfx．x称作y的原象．集合A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），所有象()fx构成的集合叫做映射f的值域，记作()fA．注：1．一对一、多对一是映射，一对多不是映射2．集合A中的元素一定有象，集合B中的元素不一定有原象．（二）一一映射：如果f是A到B的一个映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中有且只有一个原象．（三）映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．函数是数集到数集的映射．二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则．注：①分段函数是一个函数②分段函数的定义域是自变量x的取值区间的并集，值域是各个区间对应的值域的并集．③解决分段函数的重要策略就是分类讨论．三、函数的单调性1.增函数：一般地，设函数()yfx的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个12,xx，若210xxx，2121()()0yfxfxyy，则称函数()yfx在区间M上是增函数．2.减函数：一般地，设函数()yfx的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个12,xx，若210xxx，21()()0yfxfx，则称函数()yfx在区间M上是减函数．3.对勾函数1yxx在区间,1,(1,)上为增函数，在区间(1,0),(0,1)上为减函数；一般地，对勾函数(0)kyxkx在区间,,(,)kk上为增函数，在区间(,0),(0,)kk上为减函数；4.对于复合函数(())yfgx，其中()yfu称为外函数，()ugx称为内函数．当内外函数单调性相同时，(())yfgx为增函数;当内外函数单调性相反时，(())yfgx为减函数．5.设，那么①当，则在上是增函数；②当，则在上是减函数2121,,,xxbaxx0)()()(2121＞xfxfxx)(xfba,0)()()(2121＜xfxfxx)(xfba,高一上学期（必修1、4）数学知识点总结31.奇函数与偶函数的定义:①设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。②设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。③如果函数()fx是奇函数或偶函数，则称函数y=()fx具有奇偶性。2.性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，3.函数对称的性质（课本以外）（1）针对一个函数的对称性①若)()(xafxaf，则函数)(xfy的图象关于直线ax对称②若)()2(xfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线ax对称③若)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线2bax对称（2）针对两个函数的对称性①函数)(axfy与函数)(xbfy的图象关于直线2abx对称4.函数周期性①若)()(axfxf，则函数)(xf的周期aT②若)()(axfxf，则函数)(xf的周期aT2③若)(1)(xfaxf，则函数)(xf的周期aT2④若)(1)(xfaxf，则函数)(xf的周期aT2高一上学期（必修1、4）数学知识点总结41、指数函数定义一般地，函数(01)Rxyaaax，，叫做指数函数．2、指数函数图象与性质3、有关指数运算公式①mnmnaaa；②()mnmnaa；③(0)mmnnaamnaa，；④()mmmabab．我们规定01(0)aa，1(0N)nnaana，①正分数指数幂可以定义为1(0)nnaaa；()mnmmnnaaa（0Namn，，，且mn为既约分数）②负整数指数幂可以定义为1mnmnaa（0Namn，，，且mn为既约分数）图象1y=ax(0a1)yxO1y=ax(a1)yxO定义域R值域(0)，性质（1）过定点(01)，，即0x时，1y（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数（3）0x时，01y0x时，1y（3）0x时，1y0x时，01y（4）对于同一个a，xya与xya的图象关于y轴对称（5）a接近于0，xya越靠近y轴（5）a越大，xya越靠近y轴高一上学期（必修1、4）数学知识点总结5一、对数的概念1.对数的概念：如果baN（0a，1a），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaNblogbaaNNb（0a，1a，0N）．2.对数恒等式：logaNaN．log10alog1aa3.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把log写成lg，即把10logN记做lg.N4.自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数2.71828e为底的对数．以e为底的对数叫做自然对数．logeN通常记作lnN．二、对数的运算logloglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglognaaMnM（0M，0a，1a）logloglogmamNNa(01;01)aamm，，，1loglogabba，loglogmnaanbbm三、对数函数的概念：一般地，我们把函数logayx（0a，1a）叫做对数函数．01a1a图象y=logax(0a1)1Oyxy=logax(a1)1Oyx定义域(0)，值域R性质（1）函数图象过定点(10)，，即当1x时，0y（2）在(0)，上是减函数（2）在(0)，上是增函数（3）当1x时，0y；当01x时，0y．（3）当1x时，0y；当01x时，0y．（4）logayx与1logayx关于x轴对称。（5）a越接近于0，图象越靠近x轴（5）a越大，图象越靠近x轴高一上学期（必修1、4）数学知识点总结6四、指数函数与对数函数的关系1．反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为反函数．函数()yfx的反函数通常用1()yfx表示．2．指数函数xya与对数函数logayx互为反函数，其图象关于yx对称．一、幂函数的定义一般地，形如()Ryx的函数称为幂函数，其中是常数．二、幂函数的图象函数yx；2yx；3yx；12yx；1yx的图象-1-111y=xy=x3y=x2y=xy=1xyxOyx2yx3yx12yx1yx定义域RRR[0,)(0)(0)，，值域R[0,)R[0,)(0)(0)，，奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性单调递增在(0]，上减在[0)，上增单调递增单调递增在(0)，和(0)，上单调递减公共点(11)，(11)，(11)，(11)，(11)，图象所在象限一、三一、二一、三一一、三高一上学期（必修1、4）数学知识点总结7三、幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0)，都有定义，并且图象都通过点(11)，；（2）0a时，幂函数的图象通过原点，并且在[0)，上是增函数；（3）0a时，①幂函数在(0,)上是减函数；②在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；（7）作幂函数的图象时：①将第一象限的图象作出，如下图所示，遵循8字诀窍“正抛负双，大竖小横”②再根据幂函数的奇偶性，将第二或者第三象限的图象作出高一上学期（必修1、4）数学知识点总结8一、函数的零点1．函数零点的概念一般地，如果函数()yfx在实数a处的值等于零，即()0fa，则实数a叫做这个函数的零点．2．函数零点的意义函数()yfx的零点就是方程()0fx实数根，亦即函数()yfx的图象与x轴交点的横坐标．即方程()0fx有实数根函数()yfx的图象与x轴有交点函数()yfx有零点．3．零点存在判定定理如果函数()yfx在区间[]ab，上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0fafb，则函数()yfx在区间()ab，内至少有一个零点，即存在()cab，，使得()0fc，这个c就是方程()0fx的根．二、二分法1．二分法：求函数零点的近似值的一种方法．2．二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()yfx定义在区间D上，求它在D上的一个零点0x的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步在D内取一个闭区间00,abD，使0()fa与0()fb异号，即00()()0fafb．零点位于区间00,ab中．第二步取区间00,ab的中点，则此中点对应的坐标为0002abx．计算0()fx和0()fa，并判断：（1）如果0()0fx，则0x就是()fx的零点，计算终止；（2）如果00()()0fafx，则零点位于区间00,ax中，令1010,aabx；（3）如果00()()0fa