最优控制

最优控制参考文献1.知乎2.百度百科3.百度文库4.高桂革，最优控制理论的发展与展望，中国知网5.赫孝良，葛照强，最优化与最优控制（第2版），西安交通大学出版社最优控制是系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择控制信号才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。一：最优控制的发展第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。最优控制理论所要解决的问题是：按照控制对象的动态特性，选择一个容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能指标达到最优值。最优控制发展简史最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森1954年所著的《工程控制论》（EngineeringCybernetics）直接促进了最优控制理论的发展和形成。什么是最优控制使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法，可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。二：研究最优控制的方法从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：一种是苏联学者庞特里雅金提出的“极大值原理”；另一种是美国学者贝尔曼提出的“动态规划”。极大值原理是庞特里雅金等人在1956至1958年间逐步创立的，先是推测出极大值原理的结论，随后又提供了一种证明方法。动态规划是贝尔曼在1953年至1958年间逐步创立的，他依据最优性原理发展了变分学中的哈密顿-雅可比理论，构成了动态规划。求解最优控制问题，可以采用解析法或数值计算法由于电子计算机技术的发展，使得设计计算和实时控制有了实际可用的计算工具，为实际应用—些更完善的数学方法提供了工程实现的物质条件，高速度、大容量计算机的应用，一方面使控制理论的工程实现有了可能，另一方面又提出了许多需要解决的理论课题，因此这门学科目前是正在发展的，极其活跃的科学领域之一。最优控制理论在一些大型的或复杂的控制系统设计中，已经取得了富有成效的实际应用。例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。月球上的软着陆问题飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设不带燃料的飞船质量为M，初始燃料的总质量为F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的运动方程式可以表示为：我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。)()()()()()()(tkutmtmtugtvtvthFMmvvhh)0()0()0(00初始条件0)(0)(fftvth)(0tu约束条件终端条件性能指标是使燃料消耗为最小，即)(ftmJ达到最大值下面我们来看看解决最优控制的主要方法为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。一、古典变分法研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。二、极大值原理极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。三、动态规划动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。什么是最优化技术最优控制的实现离不开最优化技术，最优化技术是研究和解决最优化问题的一门学科，它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据数学模型尽快求出其最优解这两大问题。一般而言，用最优化方法解决实际工程问题可分为三步进行：①根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出约束条件和目标函数；②对所建立的数学模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化方法；③根据最优化方法的算法列出程序框图和编写程序，用计算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等作出评价。最优控制问题的提法在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基本概念。1：受控系统的数学模型一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，其一般形式为：)),(),(()(ttutXftXTnxxxX],,,[21是n维状态向量Tpuuuu],,,[21为p维控制向量)),(),((ttutXf为n维函数向量)),()(),(),()(),(()),()(),(),()(),(()),()(),(),()(),(()),(),(()),(),(()),(),(()),(),(()(2121212122121121ttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutXfttutXfttutXfttutXftXpnnpnpnn2：目标集如果把状态视为n维欧氏空间中的一个点，在最优控制问题中，起始状态（初态）通常是已知的，即)0()(0XtX而所达到的状态（末态）可以是状态空间中的一个点，或事先规定的范围内，对末态的要求可以用末态约束条件来表示：0)),((0)),((11ffffttxgttxg满足末态约束的状态集合称为目标集，记为M，即：}0)),((,0)),((,)();({21ffffnffttxgttxgRtxtxM至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。3：容许控制在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：piuutui2,1)(0max或上述由控制约束所规定的点集称为控制域U，凡在t0-tf上有定义，且在控制域U内取值的每一个控制函数u(t)均称为容许控制。4：性能指标通常情况下，最优控制问题的性能指标形如：fttffdtttutxFttxJ0)),(),(),(（）（其中第一项是接近目标集程度，即末态控制精度的度量，称为末值型性能指标。第二项称为积分型性能指标，它能反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。最优控制的提法已知受控系统的状态方程及给定的初态)),(),(()(ttutXftX)0()(0XtX规定的目标集为M，求一容许控制u(t)∈U,t∈[t0,tf],使系统从给定的初态出发，在tft0时刻转移到目标集M，并使性能指标fttffdtttutxFttxJ0)),(),(),(（）（为最小。这就是最优控制问题。如果问题有解，记为u*(t),t∈[t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。了解几种最优控制的应用类型设计最优控制系统时，很重要的一个问题是选择性能指标，性能指标按其数学形式可分为如下三类：1）积分型性能指标fttdtttutXFJ0]),(),([这样的最优控制问题为拉格朗日问题。2）终值型性能指标]),([ffttXJ这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，而对于整个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。这样的最优控制问题为迈耶尔问题。3）复合型性能指标fttffdtttutXFttXJ0]),(),([]),([这样的最优控制问题为波尔扎问题。通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：1：最小时间控制fttfdtttJ0102：最小燃料消耗控制粗略地说，控制量u(t)与燃料消耗量成正比，最小燃料消耗问题的性能指标为：fttdttuJ0|)(|3：最小能量控制设标量控制函数u2(t)与所消耗的功率成正比，则最小能量控制问题的性能指标为：fttdttuJ0)(24：线性调节器给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。线性调节器的性能指标为：fttniidttxJ012)(加权后的性能指标为：fttniiidttxqJ012)(对u(t)有约束的性能指标为：fttTTdttRututQXtXJ0)]()()()([21式中Q和R都是正定加权矩阵。一般形式，有限时间线性调节器性能指标：fttTTffTdttRututQXtXtPXtXJ0)]()()()([21)()(21无限时间线性调节器性能指标：0)]()()()([21tTTdttRututQXtXJP≥0，Q≥0，R0，均为对称加权矩阵。5：线性跟踪器若要求状态X(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹Xd(t),则这种系统称为状态跟踪器，其相应的性能指标为：fttTdTddttRututXtXQtXtXJ0)]()()]()([)]()([21Q≥0，R0，均为对称加权矩阵。若要求系统输出y(t)跟踪或尽可能接