【步步高】2014高考数学二轮专题突破(文科)专题五 第1讲

本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲第1讲直线与圆【高考考情解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲主干知识梳理1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲主干知识梳理(4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲主干知识梳理3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点到直线的距离：d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为：Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行线间的距离：d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0.l2：Ax＋By＋C2＝0)．提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲主干知识梳理4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破考点一直线的方程及应用例1(1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0(2)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()A.2B.823C.3D.833本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破解析(1)当直线过原点时方程为2x－5y＝0，不过原点时，可设出其截距式为xa＋y2a＝1，再由过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0.(2)由l1∥l2，知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a2≠18，求得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝6－2312＋－12＝823.答案(1)B(2)B本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破(1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破(1)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝()A．－3或－1B．3或1C．－3或1D．3或－1(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x－2y－1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是________________．解析(1)∵l1⊥l2，∴k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，解得k1＝－3，k2＝1.∴k＝－3或1.(2)设直线x－2y－1＝0的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.由已知得tanα＝12，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破则tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝43，所以所求直线方程为y－0＝43(x－1)，即4x－3y－4＝0.答案(1)C(2)4x－3y－4＝0本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破考点二圆的方程及应用例2(1)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________．(2)已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是________．解析(1)设圆心坐标为(x0,0)(x00)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的距离为d＝|x0－1|2.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破由弦长为22可知|x0－1|22＝(x0－1)2－2，整理得(x0－1)2＝4.∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.(2)依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心(－k2，0)位于直线x－y－1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝22，直线AB的方程是x－2＋y2＝1，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P到直线AB的距离的最大值是322＋1，△PAB面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2.答案(1)x＋y－3＝0(2)3＋2本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破(1)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点A(－1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|＝23，则直线l的方程为()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．解析(1)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，线段PQ的中点为M，由于|PQ|＝23，易得|CM|＝1.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破又|CM|＝|－3＋k|k2＋1＝1，解得k＝43，此时直线l的方程为y＝43(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.(2)设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，则r2＝d2＋(|AB|2)2＝10，故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.答案(1)B(2)x2＋(y－1)2＝10本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破考点三直线与圆、圆与圆的位置关系例3(2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破由题意，|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x2＋y－32＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2－1≤|CD|≤2＋1，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破即1≤a2＋2a－32≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为0，125.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破(1)(2013·江西)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A．33B．－33C．±33D．－3(2)(2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.17本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破(3)(2013·山东改编)过点P(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________，△PAB的外接圆方程为________________________．解析(1)∵S△AOB＝12|OA||OB|·sin∠AOB＝12sin∠AOB≤12.当∠AOB＝π2时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d＝22.设AB方程为y＝k(x－2)(k0)，即kx－y－2k＝0.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第1讲热点分类突破由d＝|