电场强度通量 高斯定理

第五章静电场物理学第五版1求点电荷的电场强度：E+E-0QPreF2014πQEεrE复习:电场强度的计算之一:若计算点电荷Q的电场中P点的电场强度,方向第五章静电场物理学第五版21r2rirnr1e2eiene2q1qiqnqP•0q1E2EiEnEiEE204πiiiiqEeεr求点电荷系统的电场强度：1112014πqEeεr2222024πqEeεr——点电荷系的电场强度各点电荷在P点激发的电场强度分别为204πiiiqer电场强度的计算之二:第五章静电场物理学第五版3rerqεE20dπ41drerqεEE20dπ41d201d4πrVρVEeεrPEdrqd+在带电体上任取一电荷元dq,将其视为一点电荷，则整个带电体在P点的场强求带电体的电场强度：其在P点的场强：2014πrQEeεr电场强度的计算之三:点电荷场强公式+qdEdr面分布PldEdrP第五章静电场物理学第五版4总结:求电场强度的三种类型1.求点电荷的电场强度2014πrQEeεr2.求点电荷系的电场强度204ipiiiQEEer3.求带电体的电场强度20d4prqEer即将带电体看做由无数个电荷元dq组成，求各电荷元产生的dE和。由于各电荷元在所求场强位置产生的dE方向不同，需将投影到各坐标轴方向，再分别积分，最后合成E。dE第五章静电场物理学第五版5归纳:如何求带电体电场中某点的电场强度1.先将带电体看做由无数个连续分布的点电荷组成；2.在其中任选一个点电荷，其到所求电场强度的位置为r,利用求点电荷的电场强度公式2014πrQEeεrdEE做修改：dQq201dd4πrqEeεr该点电荷，在所求电场强度的位置产生的电场强度：3.将向各坐标轴投影，得：dEd;xEd;yEdzE4.将各坐标轴的分量求和（积分）得：dE第五章静电场物理学第五版65.整个带电体在所求电场强度的位置产生的电场强度大小为：20dd4pqEEr=d;xxEE=d;yyEE=dzzEE=xyzEEiEjEk特例：若构成带电体的各电荷元dq在所求场强位置产生的各dE方向均相同，就不需将dE按坐标轴投影，直接积分dE，就得到带电体在所求场强位置产生的场强：电场强度：222xyzEEEE第五章静电场物理学第五版7dq=ld线分布QL为线电荷密度sdQS面分布为面电荷密度强调：正确写出dE式中的dq是关键求带电体的电场强度时，dS,dV的选取由带电体的形状确定。dV体分布QVρ为体电荷密度d2dSrrdrrrhd2dVrhr课堂巩固ddqlddqSddqV第五章静电场物理学第五版8dPL已知细杆带电q,长L,点P距细杆右端为d。20)(4ddxdLqEEd例1、求均匀带电细杆延长线上一点P的场强解：建立如图坐标系xO20)(4dxdLx其在P点的场强xqdd距原点x处取长为线元，其上带电量dqxdq方向沿x轴正向。（经分析知，带电杆上任意位置的电荷元在p点产生的dE方向均沿x轴正向。因此不必将dE分解）dxdx的第五章静电场物理学第五版9L0204dx)d(LπεxλE)11(40dLd)d(d4)d(d400LqLLqL整个带电细杆在P点的场强20)(4ddxdLxEdPLxdqxOdx第五章静电场物理学第五版10有一半径为R、均匀带有电荷量q（q0）的细圆环，试求垂直于环面轴线上任一点P的电场强度。xlqdd解:取环心为坐标原点O，垂直于环面过圆心的轴线为Ox轴，设P点到环心O的距离为x。20π4ddrεqEEddq在P点产生的电场强度的大小。式中Rqπ220π4drεl方向如图。dE在圆环上任取线元dl，dl所带电荷RqOxPrld例2第五章静电场物理学第五版11PxθrRqOxlθEExcosd23220)(π4Rxεqxrxrεl20π4dRlrεxπ2030dπ4整个带电圆环在P点激发的电场强度cosddEExsinddEEy由对称性可知0dyyEE302π4π2πxqRεrRdE17dyEdxEdEldE223204π()xqxEEεxR的方向沿x轴正方向。E将dE取分量：(即，所有dE在y轴上的投影之和为零)第五章静电场物理学第五版1222RR22EoxE(2)x=0时，E0=0可得场强最大值位置，令0ddxE(3)Rx22(1)若xR，则204πqEεx环心处的场强为零。223204π()qxEεxR讨论POxxRq第五章静电场物理学第五版1323220)(π4RxxqE2πRqEdrrqdπ2d例3求均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度.有一半径为,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为.求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点P的电场强度.RxPrrd221/2()rxr23220)(π4ddrxxqE23220)(d2rxrxrxyzoR解：（由带电圆环在p点场强(分析:将带电圆盘看作由若干半径不同的带电圆环状电荷元构成)做修改）第五章静电场物理学第五版14EEd)11(22220RxxxERxyzoEdrPrdRrxrrx02/3220)(d223220)(d2drxrxrE方向沿x轴。则整个带电圆盘在P点总场强（经分析，任意半径的圆环状电荷元在P点场强的方向均相同）第五章静电场物理学第五版15参见下图：则不需写的分量形式，直接积分即可。EdEdoxxRydExEdθldEdrr221/2()rxrxyzoREd由该题可见，若经分析，每个电荷元在P点产生的Ed方向均相同，第五章静电场物理学第五版16例4（作业19页9）解：(分析:将带电圆柱面看作由许多极窄的圆环构成，如图所示。)其上带电量:SqdddxR2其在P点产生的场强为:232204ddxLRqxLE23220R2RxLdxxL223204π()qxEεRx解：在距坐标原点x处取一宽为dx的圆环状电荷元,dqxoLdxPx第五章静电场物理学第五版17整个圆柱面在P点产生的场强为0dd32222RLxxERLx方向沿x轴。EEd32L0220d2RLxxRLx220LRR12方向沿x轴。xoLdxPxdqdE第五章静电场物理学第五版18下面考虑特例:当某些带电体具有规则的几何形状时，其产生的电场则具有对称性。求具有对称性电场的场强时可采用一种较为简便的、而又非常重要的计算方法第五章静电场物理学第五版19§5-4电场强度通量高斯定理(1)电场线上每一点的切线方向为电场强度方向1规定:2特点(1)电场线总是起始于正电荷，终止于负电荷，电场线不会形成闭合线。典型电场的电场线分布图形(2)电场线密集的地方，电场强度较大；电场线疏稀的地方，电场强度较小。(2)在没有电荷的地方电场线不中断，任何两条电场线不相交。一电场线第五章静电场物理学第五版20二电场强度通量通过电场中某个研究面S的电场线条数称作通过该研究面的电场强度通量。1定义2电场强度通量的几种表述eΦESSE匀强电场中，研究面为平面，且与电场垂直neSEne以表示。eΦneE∥：研究面S得：取表示研究面的方向第五章静电场物理学第五版21θ匀强电场，研究面为平面与平面夹角.ESEneθ则通过该研究平面的电通量亦为通过辅助面的电通量:做该研究面的辅助面，θ——面积矢量nSSecoseESΦES研究面S称：cosSeΦES第五章静电场物理学第五版22非匀强电场，研究面为曲面S.SSEΦΦddeenddeSSSESθEΦddcosdeSneSdθE在曲面S上取一元面积dS，视dS内场强是均匀的，且则通过整个曲面S的电通量定义：通过元面积dS的电通量为deΦ设想将曲面S分割成若干小面积元dS,在每个微小dS区域内场强可视为是均匀的。第五章静电场物理学第五版23nddeSSedSΦES借鉴前述对通过曲面的电场强度通量的讨论，则通过任意闭合曲面S的电场强度通量：SEdSeSE非均匀电场，研究面为闭合曲面S：SSEΦdeSSθEdcos第五章静电场物理学第五版241.对于闭合曲面，通常规定自内向外的方向为面元法线的正方向。电场线穿出闭合曲面：电场线穿进闭合曲面：可知由dcosdeSEΦdSnedSne)2.根据上述规定，E90º，de090º，de0说明即，电场线穿出闭合曲面的通量为正；穿进的通量为负。（思考：穿过闭合曲面的总通量=？）第五章静电场物理学第五版25C.F.高斯电场是由电荷所激发，在电场中通过任一闭合曲面的电场强度通量与产生电场的电荷必有确定的关系。高斯通过严格的运算，论证了电场强度通量与产生电场的源电荷之间的关系，这就是著名的高斯定理。高斯是德国著名的数学家、天文学家和物理学家，他与牛顿、阿基米德被誉为有史以来的三大数学家。他把数学应用于天文学、大地测量学和电磁学，做出了杰出的贡献。三高斯定理第五章静电场物理学第五版26例求下列三种情况中通过曲面S、S、S的电场强度通量：(1)点电荷+q位于半径为r的球面S的球心处；(2)若q位于任意曲面S内；(3)q位于任意闭合曲面S以外。2204π4πqrr0q解:(1)通过S的电场强度通量rSqE+SnedSSSEΦdeESSEdSSrqdπ420下面通过一个例题，以点电荷为例，得出相关结论，而后导出高斯定律。ESq+dSES第五章静电场物理学第五版27rSqE+nedS0结论：通过任一闭合曲面的电场强度通量，与闭合曲面外的电荷无关，仅仅取决于闭合曲面内的电荷量。(3)通过S的电场强度通量ESq+e20qΦ(2)由(1)可知通过S的电场强度通量结论：通过包围q的任意闭合曲面的电场强度通量都相等，都等于q/0。Se3dSΦES10eq第五章静电场物理学第五版28qn+1qNqn+2qnq1q2qi高斯定理的导出设空间电场是由点电荷q1、q2、、qN共同激发的。作任一闭合曲面S，其中q1、q2、、qn在曲面S内，qn+1、qn+2、、qN在曲面S外。SSEΦdeSNSnSnSSSESESESESEddddd12101qniiq101（因1~n电荷在曲面内，n+1~N电荷在曲面外）02q0nqSdSE则通过闭合曲面S的电场强度通量为：SNSEEEd)(21SEΦdde第五章静电场物理学第五版29niiSqεSEΦ10e1d——高斯定理上式表明，在真空环境的静电场中，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内所包围的所有电荷的代数和除以0，这一结论称为高斯定理。(1)高斯定理表明，通过任意闭合曲面的电场强度通量只与该闭合曲面内包围的电荷有关;但是电场内任一点的（包括曲面上）电场强度是由闭合曲面内、外所有电荷共同产生的。高斯定理中的闭合曲面，常称为高斯面。说明第五章静电场物理学第五版30若qi=0，则e=0，表明穿进闭合面内的电场线数等于穿出闭合面内的电场线数，这说明在没有电荷的地方，电场线不中断。E若qi0,则e0，表明有电场线穿进闭合曲面,这说明闭合曲面内有负电荷,表明电场线终止于负电荷。(2)由高斯定理可知：若qi0，则e0，表明有