第五章 梁弯曲时的位移

李田军材料力学课件1第五章梁弯曲时的位移第五章梁弯曲时的位移§5.1梁的位移——挠度及转角§5.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5.3按叠加原理计算梁的挠度和转角*§5.4梁挠曲线的初参数方程§5.5梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施§5.6梁内的弯曲应变能李田军材料力学课件2第五章梁弯曲时的位移过大变形的危害例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。梁的强度:梁的刚度:保证梁具有足够抵抗破坏的能力保证梁不发生过大的变形切削力§5.1梁的位移——挠度及转角挠曲线方程，即y=y(x)挠曲线转角挠度几个重要概念：李田军材料力学课件3第五章梁弯曲时的位移挠曲线:梁变形后的轴线，称为挠曲线横截面的挠度w与横截面位置x有关，即w=f(x)为挠曲线方程。是一条位于载荷平面内的光滑连续曲线挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量横截面的形心在垂直于轴线（x轴）方向的线位移，称为挠度，用y表示横截面在xy平面的角位移，称为转角，用θ表示。横截面的转角也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角ytg转角方程李田军材料力学课件4第五章梁弯曲时的位移在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。图示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。李田军材料力学课件5第五章梁弯曲时的位移I、梁的(近似)挠曲线二阶微分方程EIM1EIxMdxwd)(22EIxMx)()(1小变形条件：1)'1(2/32w§5.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率2/3211wwx式中，等号右边有正负号是因为曲率1/ρ为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是θ=w'沿x方向的变化率，是有正负的。李田军材料力学课件6第五章梁弯曲时的位移注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w，正弯矩对应于负值的w，故得挠曲线近似微分方程EIxMw梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？李田军材料力学课件7第五章梁弯曲时的位移Ⅱ、挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。xMwEIEIxMw边界条件包括支座处的约束条件(constraintcondition)和相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)李田军材料力学课件8第五章梁弯曲时的位移梁的约束条件(constraintcondition)固定和可动铰支座w=0=~FS=~M=0固定端w=0=0FS=~M=~滑动固定端w=~=0FS=0M=~自由端w=~=~FS=0M=0位移条件静力条件李田军材料力学课件9第五章梁弯曲时的位移梁的连续条件(continuitycondition)相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度与转角，即满足连续、光滑条件)()(2211xMyEIxMyEIa)()()()()()(212121ayayaaayay或位移的连续条件)()()(21axPxRxMxRxMAA在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）李田军材料力学课件10第五章梁弯曲时的位移积分法求梁的变形对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为)(''xMEly对此方程连续积分两次，可得1')()(cdxxMxEly21)()(cxcdxdxxMxEly利用边界条件确定上面二式中的积分常数C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程李田军材料力学课件11第五章梁弯曲时的位移xMwEI积分法求解梁位移的思路：①建立合适的坐标系；②求弯矩方程M(x)；③建立近似微分方程：⑤用约束条件或连续条件，确定积分常数；⑥一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。wEI;EIw④积分求和李田军材料力学课件12第五章梁弯曲时的位移例求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端B的挠度和转角。梁内弯矩方程:222121)(qlqlxqxxM22''2121)(qlqlxqxxEly连续积分两次得1223'212161)(cxqlqlxqxxEly2122344161241)(cxcxqlqlxqxxEly利用两个边界条件:000xxy解：李田军材料力学课件13第五章梁弯曲时的位移自由端的挠度和转角最大)64(24)(222llxxELqxxy)33(6)(222llxxELqxx求得c1、c2都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程:)(8)(4max向下EIqllyy顺时针）(6)(3maxEIqll李田军材料力学课件14第五章梁弯曲时的位移例图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCyxba李田军材料力学课件15第五章梁弯曲时的位移解：利用平衡方程易求得两个支反力LpaRLpbRBA显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。分别列出AC、CB段弯矩方程并积分APBLCRAyxRBba李田军材料力学课件16第五章梁弯曲时的位移AC段CB段axxLpbxRxMA0)(1LxaaxpxRxMA)()(2LpbxxMvEIz)(11)(2axpLpbxvEIz1212CLpbxvEIz22222)(2CaxpLpbxvEIz11316DxCLpbxvEIz6)(6332axpLpbxvEIz22DxCAPBLCRAyxRBba李田军材料力学课件17第五章梁弯曲时的位移边界条件：001vx02vLx21vvax21vvax支承条件连续条件光滑条件APBLCyxba李田军材料力学课件18第五章梁弯曲时的位移利用边界条件解得)(62221bLLPbCC021DDaxxbLLEIPbz0)3(6222Lxax-abLxbLLEIPbz)(3)3[(62222vaxxbLLEIPbxz0)(6222Lxax-abLxbLxLEIPbz])()([3222李田军材料力学课件19第五章梁弯曲时的位移最大转角，显然在支座处)(6)0(bLEIPabzA)(6)(aLEIPabLzBBbamaxAbamax从AB，中间必经过0APBLCyxba李田军材料力学课件20第五章梁弯曲时的位移最大挠度。)(000为极值令xvxdxdvba设3220bLx则3220max)(3)(bLLEIqPbxvfzAPBLCyxba李田军材料力学课件21第五章梁弯曲时的位移当P力作用在跨中央时，ymax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时LLLx5.0577.0310接近简支梁无论P作用在何处用%65.2最大误差max)2(fLf代替李田军材料力学课件22第五章梁弯曲时的位移221xlqxM2121xlqxMwEI例：利用积分法求图示弯曲刚度为EI的梁B点的挠度以及B点左右两截面的相对转角。解：坐标系如图，分AB、BC两段分析：AB段：lx0则：xyxllEIEIqABC12161CxlqwEI1141241DxCxlqEIw积分可得：李田军材料力学课件23第五章梁弯曲时的位移02wEI22CwEI222DxCEIw0xMlxl2BC段：则：积分可得：确定C1、D1、C2、D2四个常数：xyxqABC（1）约束条件：0x时，022wwa)24614131qlDqlC；由此可得：李田军材料力学课件24第五章梁弯曲时的位移则：0222DlC则：2211DlCDlC3281qlC4241qlDlx202wb)处，lx21ww处，故：（2）连续条件：EIqlEIDlCwwlxB83111最后可得：（向下）xyxqABC李田军材料力学课件25第五章梁弯曲时的位移EIqlEIqlqlEICCwwlxB24781683332121挠曲线形状如下图所示：B点左右两截面的相对转角为：ywB直线BABqCx李田军材料力学课件26第五章梁弯曲时的位移小变性条件（几何线性）材料遵循胡克定律（物理线性）适用条件P1P2小变性条件：计算P2的作用时，忽略P1的作用对几何尺寸的影响。§5.3按叠加原理计算梁的挠度和转角当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principleofsuperposition)。李田军材料力学课件27第五章梁弯曲时的位移例题试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度wC和两支座截面的转角θA及θB。(a)解：此梁wC及θA，θB实际上可不按叠加原理而直接利用本教材附录Ⅳ表中的公式得出。李田军材料力学课件28第五章梁弯曲时的位移作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。(b)(a)李田军材料力学课件29第五章梁弯曲时的位移查表：EIqlEIlqwC76853842/544148242/331EIqlEIlqB48242/331EIqlEIlqACC384242/2/3322EIqlEIlqBA02Cw由对称性将左半跨梁AC和右半跨梁CB分别视为受集度为q/2的均布荷载作用而跨长为l/2的简支梁。李田军材料力学课件30第五章梁弯曲时的位移按叠加原理得EIqlEIql38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA李田军材料力学课件31第五章梁弯曲时的位移例题试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角θB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。李田军材料力学课件32第五章梁弯曲时的位移解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也应与的正负相对应，如图b及图c中所示。22221qaaqMBBBMF和SqaFB2S李田军材料力学课件33第五章梁弯曲时的位移图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求Bq，BM和wDq，wDM并叠加后得到的就是原外伸梁的B和wD。李田军材料力学课件34第五章梁弯曲时的位移)(241162238454224EIqaEIaqaEIaq3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB李田军材料力学课件35第五章梁弯曲时的位移图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相