高一数学必修二――1.3空间几何体的表面积与体积

教学目标：1.熟记球的体积公式和表面积公式；2.会用球的体积公式343VR和表面积公式24SR解决有关问题。奎屯王新敞新疆提出问题：1、球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？2、球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？1．探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)设球的体积为V,则有:223114.233VRRRRVR343VR球球的体积∴2.探究球的表面积公式设球O的半径为R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,,,,iSSS表示以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积iS可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R近似地等于小棱锥的高ihOiSOiV因此，第i个小棱锥的体积13iiiVhS当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:11221(3)iiVhShShSihR又因为且12iSSSS可得:13VRS343VR又因为所以:31433RSR所以球的表面积:24SR例题示范,巩固新知：奎屯王新敞新疆例1.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.奎屯王新敞新疆CBAOO'解:设截面圆心为O',连结OA,设球半径为R.则:23232323OARtOOA222OAOAOO在中222231()34RR43R26449SR例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为,求球的表面积和体积。6RA'C'CAOA'B'C'D'DCBAO解：作轴截面如图所示，6,CC2623AC设球半径为R,则:222ROCCC22(6)(3)93R2436SR球∴34363VR球例3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。奎屯王新敞新疆A'B'C'D'DCBAOA'C'CAO解：设球半径为R,正四棱柱底面边长为a,则作轴截面如图，14,2,AAACa又24324,9.RR2282ACACCC8a6423214576S表∴例4.(P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的23(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.34,3VR球因为2322.VRRR圆柱所以,2.3VV球圆柱(2)因为24SR球2224SRRR圆柱侧SS球圆柱侧所以,练习反馈,理解加深：指导学生完成P28练习1,2,3题补充练习：1．三个球的半径之比为那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；1:2:32.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍；3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是，内切球的体积是．奎屯王新敞新疆5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．提示：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．答案：1.32.73.64.,43435解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为,,.2aa22a23∴三个球的表面积之比是3:2:1::321SSS小结归纳：球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算奎屯王新敞新疆“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握．作业布置：P28习题1.3A组第5题；课外P29B组第1题.