2020年高考文科数学《解三角形》题型归纳与训练

12020年高考文科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一利用正、余弦定理解三角形例1在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．25【答案】A【解析】因为213cos2cos121255CC，所以由余弦定理，得22232cos251251()325ABACBCACBCC，所以42AB，故选A．例2ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若54cosA，135cosC，1a，则b．【答案】1321【解析】∵4cos5A，5cos13C，所以3sin5A，12sin13C，所以63sinsinsincoscossin65BACACAC，由正弦定理得：sinsinbaBA解得2113b．例3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinsincos0BACC，2a，2c，则C（）.A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin(sincos)0ACACC得sincoscossinsinsinsincos0ACACACAC，即sin(sincos)2sinsin04CAACA，所以34A.2由正弦定理sinsinacAC，得223sinsin4C，即1sin2C，得6C.故选B.【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错【思维点拨】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.题型二角的正弦值和边的互化例1ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sincoscosaABbA2a，则abA．23B．22C．3D．2【答案】B【解析】由正弦定理，得22sinsinsincos2sinABBAA，即22sin(sincos)2sinBAAA，sin2sinBA，∴sin2sinbBaA．例2设的内角所对边的长分别为．若，则则角_____.【答案】【解析】，，所以．例3在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sincos()6bAaB．（1）求角B的大小；（2）设2a，3c，求b和sin(2)AB的值．【答案】（1）3B（2）7b，33sin(2)14AB【解析】(1)在ABC△中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，即πsincos()6BB，可得tan3B．ABC,,ABC,,abc2bca3sin5sin,ABC323sin5sinAB32212cos2,53222CabcbaCacbba32ABC3又因为(0π)B，，可得3B．(2)在ABC△中，由余弦定理及2a，3c，3B，有2222cos7bacacB，故7b．由πsincos()6bAaB，可得3sin7A．因为ac，故2cos7A．因此43sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA．所以，sin(2)sin2coscos2sinABABAB4311333727214．例4在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2cos(coscos).CaB+bAc（1）求C；（2）若7,cABC△的面积为332，求ABC△的周长．【答案】（1）π3C（2）57abc【解析】(1)2coscoscosCaBbAc由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABC∵πABC，0πABC、、，∴sinsin0ABC∴2cos1C，1cos2C∵0πC，∴π3C．⑵由余弦定理得：2222coscababC221722abab237abab1333sin242SabCab∴6ab∴2187ab∴ABC△周长为57abc题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例1设，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若,则的形状为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】∵，ABCABCcoscossinbCcBaAABCcoscossinbCcBaA4∴由正弦定理得，∴，∴，∴，∴是直角三角形．例2设，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若Abccos，则为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】由Abccos，得ABCcossinsin，所以ABCcossinsin，即ABBAcossinsin，所以0cossinBA，因为在三角形中0sinA，所以0cosB，即B为钝角，所以ABC为钝角三角形.例3在ABC中，已知AbBatantan22，则ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由已知可得AABBBAcossinsincossinsin22,BBAAcossincossin,BA2sin2sin即BA22或BA22,可得BA或2BA,所以ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.【易错点】诱导公式易出错【思维点拨】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.题型四和三角形面积有关的问题例1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为2224abc，则CA．2B．3C．4D．6【答案】C2sincossincossinBCCBA2sin()sinBCA2sinsinAAsin1AABCABCABC5【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin24abcabC，所以222sincos2abcCCab，所以在ABC中，4C．故选C．例2在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若22()6cab，3C，则ABC的面积是A．3B．239C．233D．33【答案】C【解析】由22()6cab可得22226abcab①，由余弦定理及3C可得222abcab②．所以由①②得6ab，所以133sin232ABCSab．例3ABC的内角的对边分别为，已知，，．（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积．【答案】(1)4(2)3【解析】（1）由，得，即，又，所以，得.由余弦定理得.又因为代入并整理得，解得.（2）因为，由余弦定理得.因为，即为直角三角形，则，得.从而点为的中点，.【易错点】给出三角函数值求角、余弦定理求边【思维点拨】三角形面积公式的应用原则,,ABC,,abcsin3cos0AA27a2bcDBC ADACABD△sin3cos0AAπ2sin03Aππ3AkkZ0,πAππ3A2π3A2222cosabcbcA127,2,cos2abA2125c4c2,27,4ACBCAB22227cos27abcCabACADACD△cosACCDC7CDDBC111sin3222ABDABCSSABACA△6(1)对于面积公式BacAbcCabSABCsin21sin21sin21，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【巩固训练】题型一利用正、余弦定理解三角形1.在中，若，则A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得：．2.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2,2ab，sincos2BB，则角A的大小为．【答案】6【解析】由sincos2BB得12sincos2BB，即sin21B，因02B，所以2,24BB.又因为2,2,ab由正弦定理得22sinsin4A，解得1sin2A，而,ab则04AB,故6a．3.在ABC中，π4B=，BC边上的高等于13BC，则cos=A（）.A.31010B.1010C.1010-D.31010-【答案】C【解析】如图所示.依题意，23ABBC，53ACBC.ABC60,45,32ABBCAC43233223sinsinsin60sin45BCACACACAB7在ABC△中，由余弦定理得222cos2ABACBCAABAC2222225210999.10252102339BCBCBCBCBCBCBC故选C.4.在ABC中，内角所对的边分别为.已知，，.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】见解析【解析】（1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.由正弦定理，得.（2）由（Ⅰ）及，得，所以，，故.5.如图中，已知点D在BC边上，ACAD，22sin3BAC，32AB，3AD，则的长为_______．【答案】3,,ABC,,abcab5,6ac3sin5BbsinAπsin24AABC△ab3sin5B4cos5B2222cos13bacacB13bsinsinabABsin313sin13aBAbac213cos13A12sin22sincos13AAA25cos212sin13AAπππ72sin2sin2coscos2sin44426AAAABCBDABCD8【解析】∵22sinsin()cos23BACBADBAD∴根据余弦定理可得，．题型二角的正弦值和边的互化1.在，内角所对的边长分别为,,abc．若sincosaBC1sincos2cBAb，且ab，则B=A．B．C．D．【答案】A【解析】边换sin后约去，得，所以，但B非最大角，所以．2.在，内角所对的边长分别为,,abc，若bcba322，且BCsin32sin，则角A的大小为________.【答案】6【解析】由BCsin32sin，根据正弦定理得，bc32，代入bcba322得227ba，由余弦定理得：232cos222bcacbA，∴6A.3.已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，cosaC3sin0aCbc．（1）求A；（2）若2a，ABC的面积为3，求b、c．【答案】（1）60（2）2bc【解析】（1）由正弦定理得：222cos2ABADBDBADABAD22222(32)3332323BDBDABC,,ABC632356sinB1sin()2AC1sin2B6BABC,,ABC9cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA（2）1sin342SbcAbc2222cos4abcbcAbc，解得：2bc