同角三角函数基本关系式与诱导公式

第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式考纲要求题型命题规律1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠α=tanα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出𝜋2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.选择题本节内容是三角函数的基础,高考一般不单独命题,常常以诱导公式作为基础内容,综合同角关系式及三角变换进行考查.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________.(2)商数关系：__________.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα2.特殊角的三角函数值00030045060090012001350150018006432233456sincostan010100-11222323222123313322212122232313303.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα___________________________余弦cosα____________________________正切tanα_________________口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限－sinα－sinαsinαcosαcosα-cosαcosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα－tanα(注意：把看作锐角来记公式，但实质上可以是任意角）目录判断正误1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()解析/显隐解析(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sinα都成立．(4)当k为奇数时，sinα＝13，当k为偶数时，sinα＝－13.目录[例1](1)(2015·福建卷)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B．－125C.512D．－512解析考点一同角三角函数基本关系式的应用(1)∵sinα＝－513，且α为第四象限角，∴cosα＝1－sin2α＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝－512，故选D.变式：把“为第四象限角去掉”注意：此类题一定要留意所在象限，以确定取正负。目录思考：sincossincossincos三者之间有什么关系？2(sincos)12sincos2(sincos)12sincos22(sincos)(sincos)4sincos三者之间可以互相转化，达到知一求二目录[例1](2)(2017·贵阳模拟)已知sinαcosα＝18，且5π4α3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34解析(2)∵5π4α3π2，∴cosα0，sinα0且cosαsinα，∴cosα－sinα0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，考点一同角三角函数基本关系式的应用∴cosα－sinα＝32.判断符号是本题关键所在目录《创新设计》51页诊断自测第4题4.已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为()A.23B.－23C.13D.－13B【训练1】(1)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A.－1B.－22C.22D.1《创新设计》第52页训练1A目录《创新设计》第51页诊断自测第5题5.(必修4P22B3改编)已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为________.3(2)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋2sinαcosα的值为()A.103B.53C.23D.－2《创新设计》第52页训练1（2）A目录[例1](3)(2016·全国Ⅲ卷)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625解析(3)tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.考点一同角三角函数基本关系式的应用最大特点是：关于sinx、cosx的二次齐次式A目录练习：1.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= ()A.- B. C.- D. 43543445D2.已知α∈ ,tanα=2,则cosα=.3,255-目录(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.规律方法考点一同角三角函数基本关系式的应用目录[例2](1)化简：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)；考点二诱导公式的应用(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.简答化简的规则：负化正，大化小，小化锐，锐求值。统一名，统一角，统角名少最好。目录[例2](2)求值：设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，求f－23π6的值．解析考点二诱导公式的应用(2)∵f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）sinα（1＋2sinα）＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.此类题，一般先化简再代入求值目录(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.规律方法考点二诱导公式的应用目录[训练2](1)已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（kπ＋α）cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1，2，－2}B．{－1，1}C．{2，－2}D．{1，－1，0，2，－2}解析(1)当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.考点二诱导公式的应用目录[训练2](2)化简：tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－α－π）sin（－π－α）＝______．考点二诱导公式的应用（2）原式＝－tanα·cosα·（－cosα）cos（π＋α）·（－sin（π＋α））＝tanα·cosα·cosα－cosα·sinα＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1.解析答案(1)C(2)－1目录《创新设计》第51页诊断自测第3题3.已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A.－25B.－15C.15D.25C4.已知1sin5，且为第二象限角，那么cos()_________265像此类求值问题首先观察能用诱导公式化简的先化简，再求值目录[例题3](1)已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________．(2)(2017·衡水模拟)已知cos5π12＋α＝13,且－πα－π2,则cosπ12－α等于()A.223B.13C．－13D．－223考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用解析(1)∵5π6＋α＋π6－α＝π，∴tan5π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.(2)因为512π＋α＋π12－α＝π2，所以cosπ12－α＝sinπ2－π12－α＝sin5π12＋α.因为－πα－π2，所以－7π12α＋5π12－π12.本类题一般从研究前后角的和（或差）入手目录[例3](1)已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________．(2)(2017·衡水模拟)已知cos5π12＋α＝13，且－πα－π2，则cosπ12－α等于()A.223B.13C．－13D．－223考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用又cos5π12＋α＝130，所以－π2α＋5π12－π12，所以sin5π12＋α＝－1－cos25π12＋α＝－1－132＝－223.答案(1)－33(2)D目录(1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．规律方法考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用目录[训练3](1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________．(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12解析考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sinx，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x),所以f236π＝f116π＋2π＝f116π＝fπ＋56π＝f56π＋sin56π.因为当0≤xπ时，f(x)＝0.所以f236π＝0＋12＝12.答案(1)12(2)A目录1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝sinxcosx进行切化弦或弦化切，如asinx＋bcosxcsinx＋dcosx，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦