质量检测8

质量检测(八)温馨提示对应质量检测29页(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为()A．－32B.32C．3D．－3解析：由两点式，得y－31－3＝x－0－1－0，即2x－y＋3＝0，令y＝0，得x＝－32，即在x轴上的截距为－32.答案：A2．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4解析：圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为62＝32，则所求的圆的半径为2，故选C.答案：C3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－14B．－4C．4D.14解析：双曲线方程化为标准形式：y2－x2－1m＝1则有：a2＝1，b2＝－1m，∴2a＝2,2b＝2－1m，∴2×2＝2－1m，∴m＝－14.答案：A4．(2011年青岛质检)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是()A．y＝3x2或y＝－3x2B．y＝3x2C．y2＝－9x或y＝3x2D．y＝－3x2或y2＝9x解析：x2＋y2－2x＋6y＋9＝0，(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心(1，－3)，故选D.答案：D5．(2010年北京海淀区期末)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32D.23解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2b＋1＝－2解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13，选B.答案：B6．(2010年福建高考)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：由椭圆x24＋y23＝1可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP→·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－x24)＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6.答案：C7．(2011年济南)已知点P在焦点为F1，F2的椭圆上运动，则与△PF1F2的边PF2相切，且与边F1F2，F1P的延长线相切的圆的圆心M一定在()A．一条直线上B．一个圆上C．一个椭圆上D．一条抛物线上解析：设⊙M与F1F2的延长线切于M1点，与F1P的延长线切于M2点，与PF2切于Q点．∵|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＋|QF2|＝|PF1|＋|PM2|＋|F2M1|＝|F1M2|＋|F2M1|＝|F1F2|＋|F2M1|＋|F2M1|＝|F1F2|＋2|F2M1|＝定值．又|F1F2|＝定值，∴|F2M1|为定值．由此可知M点在一条直线上．故选A.答案：A8．(2011年东北三校联考)已知双曲线x29－y216＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则|MF||PQ|的值为()A.53B.56C.54D.58解析：采用特殊值法做题：右焦点(5,0)，设PQ的斜率为1联立y＝x－5x29－y216＝1得7x2＋90x－369＝0x1＋x2＝－907，x1x2＝－3697|PQ|＝1＋1x1－x22＝1927中点(－457，－807)，中垂线y＋807＝－(x＋457)y＝－x－1257y＝0，x＝－1257∴M(－1257，0)，|MF|＝1607∴|MF||PQ|＝56，故选B.答案：B9．(2011年广西百所重点中学阶段检测)抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，若点P到l的距离等于点P与坐标原点O的距离，则tan∠POF等于()A．3B．2C.2D．22解析：设P(xP，yP)，由题易知|PO|＝|PF|，∴xP＝p4，得yP＝±p2，∴tan∠POF＝p2p4＝22.答案：D10．(2011年福州质检)已知F1、F2为椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有()个．()A．0B．1C．2D．4解析：|MF1|＋|MF2|＝10，F1(－3,0)，F2(3,0)，|F1F2|＝6设内切圆半径为r，则2πr＝3π，r＝32∴16×32＝|F1F2|·|yM|，|yM|＝4，∴M点有两个，即：短轴的端点，故选C.答案：C11．(2011年湖北八市3月调考)已知F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为()A.2B.3C.62D．2解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，|F1F2|＝2cx2＋y2＝c2x2a2－y2b2＝1S△PF1F2＝2c·yP2＝a2，yP2＝b4a2＋b2＝b4c2.c·b2c＝a2，a2＝b2∴此双曲线为等轴双曲线，e＝2.答案：A12．(2010年重庆第一次诊断)已知椭圆x24＋y22＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点．以下结论：①△ABF2的周长为8；②原点O到直线l的距离为1；③|AB|＝83.其中正确结论的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：依题意得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝8，即△ABF2的周长是8；易知点F1(－2，0)，故直线l的方程是y＝x±2，即x－y＋2＝0，则原点O到直线l的距离是22＝1；联立y＝x＋2x24＋y22＝1得3x2＋42x＝0，解得x1＝0，x2＝－423，故|AB|＝1＋12×0＋4232＝83.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)13．(2011年昆明)过点P(0,2)的直线和抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点横坐标为2，则弦AB的长为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则M(2，y1＋y22)．由y12＝8x1y22＝8x2，相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，即kAB＝y2－y1x2－x1＝8y2＋y1，又kAB＝kMP＝y1＋y22－22－0，设y1＋y2＝2m，则4m＝m－22，即m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2，即M(2,4)或M(2，－2)，显然M(2,4)在抛物线上，不合题意，舍去，∴M(2，－2)，得kAB＝－2，∴lABy＝－2x＋2.由y＝－2x＋2y2＝8x消去y，得x2－4x＋1＝0，于是|AB|＝1＋－22·|x1－x2|＝5·x1＋x22－4x1x2＝5×42－4＝215.答案：21514．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．解析：设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组y2＝axy＝x得交点为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.答案：y2＝4x15．(2011年江南十校联考)设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：1516．(2010年浙江省台州市高三模拟)已知椭圆x23a2＋y2b2＝1与双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点重合，则双曲线的离心率等于________．解析：由题意3a2－b2＝a2＋b2，∴a2＝b2，∴c2＝2a2，∴e＝ca＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．求经过7x＋8y＝38及3x－2y＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．解：易得交点坐标为(2,3)设所求直线为7x＋8y－38＋λ(3x－2y)＝0，即(7＋3λ)x＋(8－2λ)y－38＝0，令x＝0，y＝388－2λ，令y＝0，x＝387＋3λ，由已知，388－2λ＝387＋3λ，∴λ＝15，即所求直线方程为x＋y－5＝0.又直线方程不含直线3x－2y＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x－2y＝0亦为所求．18．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，∴a＋2b＝0，①(2－a)2＋(3－b)2＝r2②又直线x－y＋1＝0截圆所得的弦长为22，∴r2－(a－b＋12)2＝(2)2③解由方程①、②、③组成的方程组得：b＝－3，a＝6，r2＝52.或b＝－7，a＝14，r2＝244，∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.19．(2010年浙江高考)已知m是非零实数，抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F在直线l：x－my－m22＝0上．(1)若m＝2，求抛物线C的方程；(2)设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H.求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外．解：(1)因为焦点F(p2，0)在直线l上，得p＝m2，又m＝2，故p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)因为抛物线C的焦点F在直线l上，所以p＝m2，所以抛物线C的方程为y2＝2m2x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋m22，y2＝2m2x，消去x得y2－2m3y－m4＝0，由于m≠0，故Δ＝4m6＋4m40，且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4，设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，由2M1G→＝GF→，2M2H→＝HF→，可知G(x13，2y13)，H(x23，2y23)，所以x1＋x26＝my1＋y2＋m26＝m43＋m26，2y1＋2y26＝2m33，所以GH的中点为M(m43＋m26，2m33)．设R是以线段GH为直径的圆的半径，则R2＝14|GH|2＝19(m2＋4)(m2＋1)m4.设抛物线的准线与x轴的交点为N(－m22，0)，则|MN|2＝(m22＋m43＋m26)2＋(2m33)2＝19m4(m4＋8m2＋4)＝19m4[(m2＋1)(m2＋4)＋3m2]19m4(m2＋1)(m2＋4)＝R2，故点N在以线段GH为直径的圆外．20．(2011届上海春招改编)已知抛物线F：x2＝4y.(1)△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在直线的斜率