2017年中国大学生数学竞赛预赛试题参考答案(非数学类)

2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一1.已知可导函数满足,则()fx解：在方程两边求导得'()cos+()sin1fxxfxx=,'()+()tansecfxfxxx=.从而tantan()secxdxxdxfxexedxc−∫∫=+∫lncoslncos211==coscoscosxxeedxcxdxcxx−−++∫∫()=costan=sincosxxcxcx++由于(0)1f=，故()sincosfxxx=+。2．求()nnn+∞→22sinlimπ解由于()=+nn22sinπ()ππnnn−+22sin=22sin1nnnnπ→++。3.设(,)wfuv=具有二阶连续偏导数，且==+uxcyvxcy−，，其中c为非零常数。则21xxyywwc−=_________。解:12+xwff=，1112222xxwfff=++，21()ywcff=−，()()()22111122122111222=2yywcffccfcfcfcfcfffy∂=−=−−+−+∂。所以1221=4xxyywwfc−。4.设设设设()fx有二阶导数连续，且(0)'(0)0,(0)6fff===，则240(sin)limxfxx→=______解：21()(0)'(0)()2fxffxfxξ=++，所以241(sin)()sin2fxfxξ=。这样244400(sin)()sinlim=lim32xxfxfxxxξ→→=。5不定积分sin2sin2(1sin)xexIdxx−=−∫=________.解:由于sin2sincos2(1sin)xexxIdxx−=−∫sin22(1)vxvvedvv−==−∫2(11)2(1)vvedvv−−+=−∫2221(1)vveedvdvvv−−=+−−∫∫12211vvedvedvv−−=−−−∫∫122+111vvveedvedvvvv−−−=−−−−∫∫sin22+=+11sinvxeeCCvx−−=−−−。6.记曲面222zxy=+和224zxy=−−围成空间区域为V，则三重积分Vzdxdydz∫∫∫=__________.解：使用球面坐标2/422000/422400=cossin112sin224VIzdxdydzdddπππθϕρϕρϕρπϕρπ=⋅=⋅⋅=∫∫∫∫∫∫。二（本题满分14分)设二元函数(,)fxy在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度α，定义一元函数()(cos,sin)gtfttααα=.若对任何α都有(0)0dgdtα=且22(0)0dgdtα.证明)0,0(f是(,)fxy的极小值.解：由于()(0,0)cos(0),0sinxydgffdtααα==对一切α成立，故)0,0(),()0,0(=yxff,即)0,0(是(,)fxy的驻点.-----4分记(,)xxxyfyxyyffHxyff=，则22(0,0)coscos(0)(,)(cos,sin)(0,0)0sinsinxyfdgdffHdtdtααααααα==.-----10分上式对任何单位向量(cos,sin)αα成立，故)0,0(fH是一个正定阵,而)0,0(f是f极小值.------14分三(本题满分14分)设曲线Γ为在2221xyz++=，1xz+=，0,0,0xyz≥≥≥上从(1,0,0)A到(0,0,1)B的一段.求曲线积分∫Γ++=xdzzdyydxI解:记1Γ为从B到A的直线段,则,0,1,01xtyztt===−≤≤，1101(1)2ydxzdyxdztdtΓ++=−=−∫∫.-----4分设Γ和1Γ围成的平面区域Σ，方向按右手法则.由Stokes公式得到1dydzdzdxdxdyydxzdyxdzdydzdzdxdxdyxyzyzxΓΓΣΣ∂∂∂+++==−++∂∂∂∫∫∫∫∫∫.------8分右边三个积分都是Σ在各个坐标面上的投影面积，而Σ在zx面上投影面积为零.故1IdydzdxdyΓΣ+=−+∫∫∫.曲线Γ在xy面上投影的方程为1)2/1()2/1()2/1(2222=+−yx.------12分又该投影（半个椭圆）的面积得知42dxdyπΣ=∫∫.同理，42dydzπΣ=∫∫.这样就有1222Iπ=−.------14分四(本题满分15分)设函数()0fx且在实轴上连续，若对任意实数t，有||()1txefxdx+∞−−−∞≤∫，则,()abab∀，2()2babafxdx−+≤∫。证.由于,()abab∀，有||||()()1btxtxaefxdxefxdx+∞−−−−−∞≤≤∫∫。因此||()bbtxaadtefxdxba−−≤−∫∫。------4分然而()||||()()bbbbtxtxaaaadtefxdxfxedtdx−−−−=∫∫∫∫，其中||btxaedt−−=∫2xbtxxtaxxbaxedtedtee−−−−+=−−∫∫.这样就有()(2)baxxbafxeedxba−−−−≤−∫……(1)------10分即()2babafxdx−≤+∫1()()2bbaxxbaaefxdxefxdx−−+∫∫.注意到||()()1bbaxaxaaefxdxefxdx−−−=≤∫∫，和()1bxbafxedx−≤∫。-----13分把以上两个式子入(1)，即得结论。------15分五(本题满分15分)设{}na为一个数列，p为固定的正整数。若()limnpnnaaλ+→∞−=，其中λ为常数，证明limnnanpλ→∞=。证明：对于0,1,,1ip=−…，记()(1)innpinpiAaa+++=−。由题设()liminnAλ→∞=，从而()()()12limiiinnAAAnλ+++=。------5分而()()()12(1)=iiinnpipiAAAaa++++++−。由题设知(1)(1)lim=lim(1)(1)npinpinnaannpinnpipλ++++→∞→∞=++++。------10分对正整m，设=mnpi+，其中01,1p−…，，，从而可以把正整数依照i分为p个子列类。考虑任何这样的子列，下面极限(1)lim(1)npinanpipλ++→∞=++，故limmnampλ→∞=。------15分