关于微积分(DOC)

关于微积分的恩恩怨怨1712年五六月间，一本名为《约翰·柯林斯博士等人关于推进分析发展的通信集》（简称《通信集》）的图书被先后寄送给欧洲各大学术机构，书的编纂者和出版者署名为英国皇家学会。虽然被冠以约翰·柯林斯之名，但这位已故的英国数学家在这部通信集中其实只是一个小小的配角，真正的主角是一种数学方法，即当时被称为“流数术”的微积分方法。这本书汇集并按时间顺序排列了微积分创立过程中起到过关键作用的几位数学家讨论相关问题的往来信件，巴罗、牛顿、莱布尼兹等当时欧洲最杰出数学家赫然在列。在这本长达120页的书信集最后，附有一篇用英文和拉丁文两种文字书写的判词，结尾这样写道：“鉴于上述原因，我们判定牛顿先生为（微积分的）第一发明人；我们的意见是，持同样观点的凯尔先生并无任何中伤莱布尼兹先生之处……”这就是英国皇家学会对著名的微积分发明权之争的判决。这一判决在欧洲学术界激起了两种截然对立的反应。英国学者们纷纷向当事人牛顿和凯尔表示祝贺，而欧洲大陆的学者，尤其是德国学者们则大多站在莱布尼兹一边，指责判决不公。那么，这场公案究竟孰是孰非？事情要从1665年说起。牛顿创立流数术1665年，一场瘟疫席卷了英格兰，作为欧洲最著名学府之一的剑桥大学不得不停课闭校，以避瘟疫。年轻的剑桥大学学生牛顿因之返乡。此前，他刚刚获聘为本校数学教授巴罗的研究助手，并借此获得了继续攻读硕士学位的机会。尽管欣赏牛顿在数学方面的悟性和才华，但巴罗也向这位新助手指出了他在数学基础知识方面的不足。这极大地刺激了自尊心极强的牛顿，从此他愈发努力地研习数学。返乡后，牛顿更是一头扎进数学研究中，利用这段时光阅读各种数学著作。其中，巴罗和沃利斯两位数学家的著作对牛顿影响最大。巴罗的“通过计算求切线的方法”，已经十分接近微积分中的求导数过程；而沃利斯用级数求圆面积的“化圆为方”法，则体现了利用无穷小进行级数求和的思想，牛顿将其改进并推广到双曲线等函数曲线在笛卡尔坐标系上所围图形面积的求算中，几乎就相当于积分运算。尽管技术上的准备已经充分，但是要建立微积分方法，最关键的还需要一次认识上的升华，即对曲线性质的重新理解。在这方面，笛卡尔关于世界连续性的自然哲学观念及其运动学理论给了牛顿很大启发。牛顿意识到，在对曲线的研究中，最重要的不是把握函数曲线在每一个点上发生了什么样的变化，而是要找出导致这个变化的原因。这一认识清晰后，一种全新的数学方法，被牛顿本人称为“流数术”的微积分方法已呼之欲出。这一年，牛顿已完整给出了正流数法（微分）运算的一般法则。1666年，他完成了反流数法（积分）研究，并撰写了“根据运动解决问题”一文。但这些论文都没有及时发表，而是像牛顿的大多数手稿一样，被埋进了他书房厚厚的纸堆里。甚至在1667年回校就任巴罗的助手后，他也没有与自己的上司兼导师完整地讨论过这项工作。直到1669年，为了腾出更多精力去研究神学，巴罗决定辞去自己的数学讲座教授职位，并保举牛顿接任。尽管巴罗十分了解并信任牛顿的才能，但此时牛顿还尚未发表过任何学术著作或论文。为说服校方支持，巴罗要求牛顿提交一篇能证明自己学术水平的数学论文。直到这时，牛顿才把自己在乡间躲避瘟疫时所做的部分工作写成“无穷多项式分析”一文，内容主要是他在改进“化圆为方”法的过程中发现的二项式定理，以及关于级数的一些讨论，其中也透露出了一些流数思想。这让巴罗意识到，牛顿的研究已达到甚至远远超出了当时欧洲数学的前沿。惊叹之余，他将牛顿的论文寄给自己的好友、在欧洲数学界交游颇广的约翰·柯林斯征求意见，后者又将其转寄给了其他一些数学家，都得到了充分的肯定——这正是1712年的《通信集》中最早的几封信的由来。然而，尽管已经得到了众多同行的肯定，牛顿仍然拒绝将这篇论文正式发表，甚至连巴罗主动提议将此文附在自己的《光学讲义》出版（在学术出版事业不发达的年代，这是年轻作者发表自己学术成果的一条常见捷径）也被他拒绝。直到1687年，《自然哲学之数学原理》出版时，他才在该书的一条引理中首次公开了流数术的部分计算法则。而对流数术的完整说明直到1704年才作为牛顿《光学》一书的附录公之于众。莱布尼兹与微积分就在牛顿对自己的发现秘而不宣的时候，远离英国的欧洲大陆却有人抢先发表了关于微积分的论文，这个人就是莱布尼兹，他比牛顿小三岁，是一位德国学者。莱布尼兹系统讨论微分和积分的论文分别发表于1684年和1686年——现代微积分使用的术语和符号体系就始于这两篇论文。不过，从其未发表的手稿看，这些工作，包括用来表述它们的术语和符号系统，至少在1677年就已经成熟。那么，莱布尼兹的微积分与牛顿的工作之间是否存在因果关系呢？或者用后来牛顿的支持者们指责莱布尼兹的话说，莱布尼兹是否真的剽窃了牛顿呢？应该说，无论是当年英国皇家学会的调查，还是后世历史学家们的研究，都未能提供足以证明莱布尼兹的工作与牛顿的工作间存在因果关系的直接证据。不过，一个十分不利的间接证据是，1673年莱布尼兹曾以外交官身份访问伦敦。尽管没有与牛顿当面交流，但其他一些英国数学家却在这次访问中与莱布尼兹发生了密切接触，尤其是熟悉牛顿工作的皇家学会秘书奥登伯格。而从莱布尼兹的笔记、手稿看，他把兴趣集中到微积分研究上的时间正是在这次访问之后。此外，在后来的调查中，奥登伯格也作证说他曾向莱布尼兹提起过牛顿的工作——尽管他的介绍未必很得要领。因此可以推测，在莱布尼兹全面投入到微积分研究以前，至少了解一部分牛顿的工作。但这并不能说明莱布尼兹确实抄袭或模仿了牛顿。因为与牛顿一样，从莱布尼兹的论文和手稿中同样可以看出一条清晰的、逐步通向微积分的研究路径，而且这条路径与牛顿的完全不同。如果说牛顿是从研究几何问题入手，在发展“通过计算求切线”、“化圆为方”等利用代数方法求解几何问题的技术的过程中创立微积分的，那么莱布尼兹则是从数列、级数等代数问题入手，从级数求和、求差的规律中悟出积分与微分法则的。从另一个角度说，牛顿的工作与物理学的关系更密切，对运动和轨迹问题的思考和理解是牛顿创立流数术的重要灵感来源，流数术的用途和公式中各项的物理含义也很明确——牛顿主要用它来分析运动问题，其中的自变量x基本上只对应于时间，变量y和y的各级积分、导数分别对应于距离、速度、加速度；而莱布尼兹则是从纯粹的数字的排列组合规律中发现微积分定理的，因此他发现的公式从原理上说与物理世界并无直接联系，其中的变量与自变量并没有被预设对应于任何特定物理量，这反而为这一数学方法后来在物理学中更广泛应用留下了空间。有趣的是，最终导致莱布尼兹建立微积分方法的数列研究在他的手稿中最早可以追溯到1666年，与牛顿建立微积分的时间几乎同时。这更说明莱布尼兹并不是在了解过牛顿的工作后才凭空创造出微积分的，他的工作有其独立的出发点，与他本人早年的工作一脉相承。因此，如果说牛顿的工作曾经带给莱布尼兹灵感，那是极有可能的（尽管同样没有直接证据能够证明这些灵感到底如何影响了莱布尼兹以及影响了多少）。1673年莱布尼兹在伦敦的访问很有可能带给了他一些重要的灵感，并让他把这些灵感与自己早年关于数列的研究联系起来。但就主要思路而言，必须承认莱布尼兹走的是一条与牛顿完全不同的路线，特别是在出发点上与牛顿存在本质区别。尽管牛顿和莱布尼兹最终为争夺微积分的发明优先权而闹得不欢而散，并留下了直到今天双方支持者仍各执一词的千古公案，但在开始的时候，两位数学家并不完全是相互敌对的，反倒颇有几分惺惺相惜之意。关于发明权的最初争议牛顿早在1676年就知道莱布尼兹的工作，但此时的他并没有表现出任何对优先权问题的担心或竞争心理。直到1687年以前，他都没有公开发表任何关于流数术的论文或专著，哪怕是在1684年莱布尼兹抢先发表了论文以后。反倒是在1687年，他首次在《自然哲学之数学原理》第一版中透露出关于流数术的一鳞半爪时，特意在下方注释道：十年前在我与最权威的几何学家G.G.莱布尼兹进行的后来被中断的系列通信中，我展示了我提出的定义最大和最小的方法……阁下回信说他也在研究这样一种方法，他的方法除了用词及其众所周知的形式以外，和我的几乎没有什么不同。牛顿在这段话中用“最权威的”来形容莱布尼兹，并尊称其为“阁下”，对与莱布尼兹英雄所见略同的得意之情跃然纸上。不过牛顿本人的态度并不能代表他的全部英国同胞。曾作为牛顿微积分思想启发者之一的老一代数学家沃利斯就对此很不以为然。作为一位狂热的不列颠沙文主义者，沃利斯一生热衷于证明不列颠民族相对于其他民族在智力上的优越性。随着“莱布尼兹微积分”在欧洲大陆声望日隆，而牛顿更早的工作却迟迟不见发表，本应属于英国数学家的学术荣誉眼见着正被德国人“窃取”殆尽，这怎能不让充满民族自尊心的老数学家焦虑？为此，沃利斯不但多次以师长和朋友的身份致信牛顿，措辞颇有些严厉地敦促牛顿尽快发表关于流数术的论文；而且身体力行，在自己的著作中不断为牛顿及其流数术摇旗呐喊。特别是在1695年出版的著作中，在谈到牛顿流数术与莱布尼兹微积分的内在一致性时，老数学家意味深长地提及，1676年牛顿发给包括他在内的几位英国数学家介绍流数术的两封最初的信件，“也被（几乎一字不易地）传递给了莱布尼兹，他（牛顿）在信中向莱布尼兹讲解了他在十多年前就已经发明的方法”——这是关于莱布尼兹剽窃牛顿成果的第一次暗示。对于这一指控，莱布尼兹当然十分恼火，但他很清楚他的敌人是谁。在这一时期莱布尼兹写给一位英国友人的信中谈道：“我对牛顿先生完全没有不满，但对沃利斯先生可不是……”在他的朋友和忠实追随者约翰·伯努利为此事打抱不平时，莱布尼兹还出言劝诫后者说：“你必须承认，他（牛顿）是个出类拔萃的人。”但值得注意的是，对于伯努利反过来怀疑牛顿流数术剽窃莱布尼兹思想的猜测，莱布尼兹并没有明确反对，反而暗示，牛顿确实“参与过我的微积分方法的建立”。伯努利是从莱布尼兹手中学会微积分的，而对牛顿早年的工作一无所知，因此他怀疑牛顿抄袭情有可原。而莱布尼兹的表态则耐人寻味。首先，他俨然以微积分的肇造者自居，尽管承认牛顿“参与过”微积分的建立，但那是“我的微积分方法”。其次，如果不是出于健忘或故意的不诚实，那么莱布尼兹的表态似乎从另一个侧面说明，他对牛顿早年工作的了解的确不是特别多。事实上直到1713年莱布尼兹在这场争执中败诉时，他还在怀疑当时公布出来的牛顿早年的流数术论文是不是参考自己的微积分著作伪造的，这进一步说明，尽管两套体系甚至在形式上都如此相似，但莱布尼兹对后者已经达到的高度完全始料未及。还有一个原因造成了莱布尼兹的自负和他对牛顿成就的低估——在1696年，莱布尼兹与伯努利交换上述信件之时，他们所谈论的微积分早就不仅限于莱布尼兹曾与牛顿讨论过的内容了。二十年间，经过莱布尼兹、伯努利兄弟以及其他很多欧洲数学家的共同发展，莱布尼兹微积分已发展为一个精妙、丰富的体系，包括引入函数概念、微分方程、变分法等。《原理》和沃利斯的著作中透露出的内容，尽管出乎莱布尼兹等人的意料，但是与他们已经达到的高度相比，仍然算不了什么。尽管认同牛顿的才智，但莱布尼兹并不认为牛顿能够凭一己之力单独创造出这些东西——他的想法并不算错，尽管比莱布尼兹认为的走得远得多，但牛顿的流数术研究毕竟已停滞了几十年，在这场智力探险中他早已落后了——因此莱布尼兹压根没有把发展微积分的工作当成一项科研竞争，他至多把牛顿当成有能力欣赏他创造物的知音之一。也正因如此，沃利斯的指控在最初并没有得到莱布尼兹等人特别严肃的对待。从莱布尼兹与伯努利的通信来看，他们对沃利斯事件的讨论只持续了很短时间，占据的篇幅也非常小，相比之下，在当时占据他们大部分精力的是伯努利刚刚对全欧洲数学家发起的挑战。没有人能料到，正是这个挑战成为了牛顿与莱布尼兹全面交恶的导火索。论战的爆发伯努利提出的这个挑战被称为“最速降线问题”：设不在同一铅直线上的两点A与B，使一质点只在重力的影响下从A点滑向B点，求所需时间最短的途径。这道题的奥妙在于，要正确地解答它，不仅必须引入微积分思想，而且需要对这种技术的娴熟而巧妙的创造性使用。由于这一挑战与沃利斯事件在时间上的重合性，在当时和后来都有不少人