学秋季学期工科数学分析答案

1/7哈尔滨工业大学2004/2005学年秋季学期工科数学分析期末考试试卷（答案）试卷卷（A）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D）（A）如果数列nx收敛，那么数列nx一定有界。（B）如果aunnlim，则一定有aunnlim。（C）f(x)在点0x处可导的充要条件是f(x)在点0x处可微。（D）如果函数f(x)y在点0x处导数为0，则必在该点处取得极值。2．设在[0，1]上0)x(f''则下列不等式正确者为（B）（A）)0(f)1(f)0(f)1(f''（B）)0(f)0(f)1(f)1(f''（C）)0(f)1(f)0(f)1(f''（D）)0(f)1(f)0(f)1(f''3．若f(x)在ba,上可积，则下列叙述中错误者为（D）（A）dt)t(fxa连续（B）)x(f在ba,上可积（C）f(x)在ba,上由界（D）f(x)在ba,上连续得分姓名:班级：学号：第1页（共7页）2/74．若sinF(x)dy])tdtsinsin[(xay03，则)x(F'（D）（A）dy])tdtsinsin[(cosxay03（B）cosxx3sin)tdtsinsin(dy])tdtsinsin[(cos2y03xay03（C）y03xay03)xdxsinsin(dy])tdtsinsin[(cos（D）y03xay03)tdtsinsin(dy])tdtsinsin[(cos5．)x1e(x1nlim（D）（A）e（B）2e（C）3e（D）4e二．填空题（每题2分，共10分）1．)0x(x11ynnlim的间断点为：1x，其类型为：第一类间断点。2．23x)(1xy的全部渐近线方程为：2-xy1,x。3．摆线2t)cost1(ay)sintt(ax在处的切线方程为：0a)4(21yx。4．2n1n)!n(lim=：1。5．设f(x)在,1上可导，23e)1e(f,0f(1)2xx'，则f(x)=：35x3xx23得分遵守考试纪律注意行为规范第2页（共7页）3/7三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）1．若xy2exy，求?yx'解：2xylnxlny，2x'x'xyxyyy2则)2xy(x)yx(yyx'2．)sintty2tcosx，?yxx''求解：2t4sin2tsin21cost1xyyt't'x'，2t4cos2tsin2112t2cosyxx''3.dx1xxarctan解：sectdtantt2tdtsec2tantsecttdx1xxarctan2ttanxttanx2=ctantsect2ln-sect2tsectdt2-2tsecttdsect2=c)x1x(2ln1xx2arctan4．dxeyx11x解：dxy)e-(xdxx)e-(ydxeyx1yxy1x11xx1yxy1dey)-(xdex)-(ydxey)e-(xdxex)e-(y1yx1xy1-x1xyyyeeyy)1(e2]ey)e-(x[]ex)e-(y[y1xx1xx得分第3页（共7页）4/75.已知dttecxcxct2xx)(lim，求?c解：tcctcdetdtteexcxccxcx222xxxx21)11()(limlim=2c2t2te)412c(e[te21ccdt，所以2c2ce)412(ec。故25c四．解答下列各题：（每小题5分，本题满分10分）1.已知数列nx，Nn),x2(xxnn1n，.1a0,ax1且求证：nx收敛，并且?xnnlim证明：1)证nx有界因为)a2(ax2,所以1x02。假设1)x2(xx01-n1-nn，则1x01n。故nx有界。2）证nx单调因为0)x1(xx)x2(xxxnnnnnn1n，故nx为单调上升数列。由1）和2）知道nx收敛。设Annxlim，由)x2(xxnn1n，所以有)A2(AA解得1,0AA。而0xn且为单调递增数列，所以0A。故1xnnlim。得分第4页（共7页）5/72．设20t，曲线sinxy与三条直线0,2,ytxtx所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为ttV),(取何值时，)(tV最大？解：xdxxdxxdxtVtttt0220222sinsinsin)(，)1cos22)(1cos22(sin)(2'ttttV由0)('tV得，42arccost。当242arccost时，0)('tV故当42arccost时，)(tV达到极大值，且为最大值。五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分）1.证明方程0,0,sinbabxax至少有一个不超过ba的正根。证明：设bxaxxfsin)(，显然它在ba,0上连续。0)]sin(1[)sin()(baabbaababaf（i）若0)(baf，则ba即为满足条件的根。（ii）若0)(baf，则0)(baf。而0)0(bf，由零点定理知存在),0(ba，使得0)(f。即为满足条件的根。得分第5页（共7页）6/72.设函数]1,0[Cf且1)(310duuf，试证：2)(:]1,0[f证明：由1)(310duuf知道31)(10duuf，所以0))((102duuuf。因为]1,0[)(2Cuuf，故由积分中值定理知：]1,0[，使得0)01()())((2102fduuuf，即2)(:]1,0[f。3.设)(xf在区间],[ba上有二阶导数。0)()(''bfaf，证明：在区间),(ba内至少存在一点，使2'')()()(4)(abafbff证明：将)(xf在ax与bx处展成一阶泰勒公式21''')(2)())(()()(axfaxafafxf(1)22''')(2)())(()()(bxfbxbfbfxf(2)令2bax，注意到0)()(''bfaf，(1),(2)有4)(2)()()2(21''abfafbaf(3)4)(2)()()2(22''abfbfbaf(4)(4)-(3)得：))()((8)()()(02''1''2ffabafbf所以：))()((8)()()(8)()()(2''1''22''1''2ffabffabafbf第6页（共7页）7/7取)(])(,)(max[''2''1''fff，即有2'')()()(4)(abafbff。4.设)(xf在区间]1,0[上连续，且dxxxfdxxf1010)()(证明：存在一个)1,0(使得0)(0dxxf证明：令dttftxxFx0)()()(，显然)(xF在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，又0)0(F，,0)()()()1()1(101010dtttfdttfdttftF即)1()0(FF。在由罗尔定理知，存在)1,0(使得0)('F，即xxxxxdtttfdttfxdttftxF00'0')()())()(()(=0)()()()(00dttfxxfxxfdttfxx第7页（共7页）