第一部分--第二章--2.2--第二课时-等差数列的性质

2.2等差数列把握热点考向应用创新演练第二章数列考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第二课时等差数列的性质返回返回返回第二课时等差数列的性质返回返回返回已知等差数列{an}中，公差d.问题1：计算前三项间的关系，提示：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，∵a2－a1＝a3－a2，∴a1＋a3＝2a2.问题2：an，an＋1，an＋2有什么关系？提示：∵an＋1－an＝an＋2－an＋1＝d，∴an＋an＋2＝2an＋1.返回等差中项：如果a、A、b这三个数成等差数列，那么A＝，把A＝叫做a、b的等差中项.a＋b2a＋b2返回返回在等差数列{an}中，公差为d，问题1：a1，a2，a8，a9有什么关系？提示：∵a2＝a1＋d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d，∴a1＋a9＝a2＋a8.问题2：a1，a4，a7，a10，a13能构成等差数列吗？提示：能，公差为3d.返回若{an}是等差数列，d为公差，则有如下性质：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则an＋am＝ap＋aq.特别地：若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则an＋am＝2ap.(2)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(3)下标为等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…仍组成等差数列，且公差为md.返回(4)数列{λan＋b}(λ，b为常数)仍为等差数列，且公差为λd.(5){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也为等差数列．(6){an}的公差为d，则d0⇔{an}为递增数列；d0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．(7){an}是等差数列，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…仍成等差数列．返回对于性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)的要求：①两边下标和相等，②两边相加的项数一样多．③可推广到三项或三项以上，即若m＋n＋p＝q＋k＋l，则am＋an＋ap＝aq＋ak＋al.返回返回返回[例1]已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列．求：p，q的值．[思路点拨]由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p、q的等式，结合x1＝3推出2p＋q＝3，从而得p、q.返回[精解详析]由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①，②得，q＝1，p＝1.返回[一点通]若三数a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即b为a，c的等差中项，反之，也成立，这个结论在已知等差数列的题中经常用到．返回1．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为________．解析：由已知得2(2x＋1)＝x＋4x＋2，解得x＝0.故数列为0,1,2,3.∴an＝n－1.∴a5＝5－1＝4.答案：4返回2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．解析：由m和2n的等差中项为4，则m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，则2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以，m与n的等差中项为m＋n2＝62＝3.答案：3返回3．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.解析：∵8，a,2，b，c是等差数列，∴2a＝10，∴a＝5.∴b＝－1，c＝－4.答案：5，－1，－4返回返回[例2](1)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36.求a5＋a8.(2)数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，求a5＋a8.[思路点拨]利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题．返回[精解详析](1)法一：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36.则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.返回法二：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.(2)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，故a5＋a8＝a3＋a10＝3.[一点通]利用等差数列性质时，要注意各性质的使用条件．返回4.等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝________.解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a5＝a7＋a2.∴a2＝15－12＝3.答案：3返回5．等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则a10＋a11＋a12＝________.解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12.成等差数列．∴a10＋a11＋a12＝2[(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)]＋(a4＋a5＋a6)＝2×(9－3)＋9＝21.答案：21返回6．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________.解析：∵a1＋a17＝a5＋a13＝2a9，∴(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9，＝2a9－2a9＋a9＝117.∴a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.答案：234返回返回[例3](1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[思路点拨](1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．返回[精解详析](1)法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.返回法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.返回(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.返回法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得(1－32d)(1＋32d)＝－8，即1－94d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.返回[一点通]利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．返回7．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．返回解：设前三项为a－d，a，a＋d，由题意得a－d＋a＋a＋d＝21，a－daa＋d＝231，即3a＝21，aa2－d2＝231.即a＝7，d2＝16.由于数列为单调递增数列，∴d＝4.∴an＝4n－1.返回8．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这五个数．解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有：a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝859，返回∴5a＝5，5a2＋10d2＝859，∴a＝1，d＝±23.d＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73.d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.返回(1)等差中项主要有两方面的用途：①利用等差中项的性质简化计算．②判定数列是否为等差数列，对于数列{an}中任意三项an、an＋1、an＋2，若有an＋an＋2＝2an＋1，则可以判定数列{an}为等差数列．(2)等差数列的性质主要是用来简化运算，要熟练掌握、灵活运用，提高计算速度和准确度．返回点此进入