21.2.4-一元二次方程的根与系数的关系

知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评全效学习·导学练创评*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评一元二次方程的根与系数的关系关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝_______，x1x2＝____．语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的______________，两根的积等于常数项与二次项系数的_____．易忽略点：一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：①a≠0；②Δ≥0.知识管理－baca比的相反数比知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评归类探究类型之一利用根与系数的关系求方程的两根的和与积若一元二次方程4x2＋3x＝1的两个根分别为x1，x2，则下列结论正确的是()AA．x1＋x2＝－34，x1x2＝－14B．x1＋x2＝－3，x1x2＝－1C．x1＋x2＝34，x1x2＝14D．x1＋x2＝3，x1x2＝1知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评【解析】因为a＝4，b＝3，c＝－1，由根与系数的关系知x1＋x2＝－ba＝－34，x1x2＝ca＝－14.【点悟】根据x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca判断．知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评类型之二利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：(1)1x1＋1x2；(2)x21＋x22；(3)(x1－3)(x2－3)；(4)x1－x2.知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评解：由根与系数的关系得x1＋x2＝92，x1x2＝3.(1)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝92÷3＝32；(2)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝922－2×3＝574；(3)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝3－3×92＋9＝－32；知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评【点悟】利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根与系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求式的值．(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝922－4×3＝334，∴x1－x2＝±332.知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评类型之三利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．解：方法一(利用根与系数的关系)：∵方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，设另一个根为x1，∴2x1＝－6，解得x1＝－3，∴方程的另一个根是－3.方法二(代入法)：把x＝2代入原方程，得22＋2m－6＝0，解得m＝1.把m＝1代入原方程，得x2＋x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3.知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评1．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是()A.0B.2C．－2D.42．[2014·昆明]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于()A．－4B．－1C．1D．4当堂测评BC知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评3．[2014·曲靖]已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为___________．x＝－14．[2014·黔东南州]若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2＝______．－1【解析】∵一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝1，x1x2＝－1，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝1－1＝－1.知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评分层作业1．已知方程3x2－5x－7＝0的两根为x1，x2，则下列各式中，正确的是()A．x1＋x2＝5，x1x2＝7B．x1＋x2＝－5，x1x2＝－7C．x1＋x2＝53，x1x2＝－73D．x1＋x2＝－53，x1x2＝－73C知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评2．[2014·攀枝花]若方程x2＋x－1＝0的两实根为α，β，那么下列说法，不正确的是()A．α＋β＝－1B．αβ＝－1C．α2＋β2＝3D.1α＋1β＝－1D知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评A．－3B．3C．－6D．63．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x21x2＋x1x22的值为()A【解析】∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，∴x21x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3.知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评4．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为()A．－7B．－3C．7D．3【解析】由根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝2，所以x1＋x2－x1x2＝5－2＝3.5．[2014·黄冈]若α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2＝()A．－8B．32C．16D．40【解析】根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.CD知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评6．[2014·宜宾]若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是()A．x2＋3x－2＝0B．x2－3x＋2＝0C．x2－2x＋3＝0D．x2＋3x＋2＝0B7．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x21＋x22；(2)x2x1＋x1x2；(3)(x1＋1)(x2＋1)．知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝－6，x1x2＝3.(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3＝36－6＝30；(2)x2x1＋x1x2＝x22＋x21x1x2＝303＝10；(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝3－6＋1＝－2.知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评8．已知2－5是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根．解：设方程的另一个根为x1，由x1＋2－5＝4，得x1＝2＋5.知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评9．[2014·威海]方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是()A．－2或3B．3C．－2D．－3或2【解析】∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(m＋6)2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0.解得m＝6或m＝－2，∴m＝－2.C知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评10．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为()A．2013B．2014C．2015D．2016【解析】∵a是方程x2＋x－2016＝0的根，∴a2＋a－2016＝0，∴a2＋a＝2016.又由根与系数的关系，得a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2016－1＝2015，故选C项．C知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评11．[2014·南充]已知关于x的一元二次方程x2－22x＋m＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x21＋x22－x1x2的值．解：(1)由题意，得Δ＞0，即－222－4m＞0，m＜2，∴m的最大整数值为m＝1；(2)把m＝1代入关于x的一元二次方程x2－22x＋m＝0，得x2－22x＋1＝0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝22，x1x2＝1，∴x21＋x22－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(22)2－3×1＝5.知识管理归类探究当堂测评分层作业全效学习·导学练创评12．[2014·鄂州]已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.(1)若方程有两实数根，求m的范围；(2)设方程两实根为x1，x2，且x1－x2＝1，求m的值．解：(1)由题意，得Δ＝（－2m）2－4m（m－2）≥0，m≠0.∴m＞0；(2)由题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝m－2m.∵|x1－x2|＝1，∴(x1－x2)2＝1，变形为(x1＋x2)2－4x1x2＝1，即22－4m－2m＝8m＝1，∴m＝8.