存在性问题探究

初三数学二轮复习：存在性和最值问题的探究知识梳理：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”.存在性问题探究的一般思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由从这个假设出发，结合已知条件，或挖掘出隐含条件，辅以方程等思想，进行正确的计算、推理。再对得出的结果进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理、事实等相矛盾。若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的对象的存在，并求出结果；否则，不存在。即解题过程是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。引例1:已知关于x的方程k2x2+(2k－1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求k的取值范围(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k值;如果不存在，请说明理由。引例2：如图，直线33xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）。⑴求抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.yxOCBA例1：如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3)，与x轴交于另一点C。（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。例2：已知抛物线cbxxy2交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D．（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的31？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例3：如图，已知抛物线cbxxy2经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线xy相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线)150(mmx与抛物线交于点M，与直线xy交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．例4：如图，已知抛物线212yxbxcx与轴交于点A（4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.(1)求此抛物线的解析式；(2)设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标；(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.xOPNMBAyy=xx=mABOCyx例5：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，28OAcm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线cbxxy241经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．例6：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把△MBC沿X轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO。（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PO⊥X轴于点Q，连结OP.①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TBTO的值最大.课后作业：BAPxCQOyAOxBCMy1、一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=xk的图象相交于A、B两点，坐标分别为（—2，4）、（4，—2）。（1）求两个函数的解析式；（2）结合图象写出y1＜y2时，x的取值范围；（3）求△AOB的面积；（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由。2、如图已知直线y=－2x+12分别与y轴、x轴交与A、B两点,点M在y轴上,以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D,连结MD(1).求证:△AMD∽△AOB(2).如果⊙M的半径为52，请求出点M的坐标,并写出以为顶点,且过点M的抛物线的解析式。(3).在(2)的条件下,试问在此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。3、如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．----------------y0xBAEFC432112-1-2-3-4-5-1-2)229,25(OAxyB4、如图，直线1yx与抛物线24yaxbx都经过点(1,0)A、(3,4)B．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．5、将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（–3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．ABOCyxPEBCAOyx