5粒子流密度和粒子数守恒定律定态薛定谔方程.

§2-4粒子流密度和粒子数守恒定律一、概率分布随时间的变化及连续性方程二、粒子数、质量、电荷守恒定律三、波函数的标准条件四、波函数一般是复数§2-4粒子流密度和粒子数守恒定律一、概率分布随时间的变化及连续性方程1．概率分布随时间的变化因为总概率（或粒子数）守恒，所以如果有的区域粒子数增加，必然有的区域粒子数减少，说明有一定数目的粒子从一个区域转移到了另一区域。寻求一个概率流密度矢量来表示单位时间内穿过单位面积的概率（概率流动），则会使图象更明确。2．概率分布的连续性方程假设已归一化*(,)(,)(,)wrtrtrt2N22N2(,)rt描写态，描写概率分布（概率云）。假设有很大数目的N个相同的但独立的粒子，同处于态，则表示粒子数在空间的分布。不断随t变化，分布及也不断变化，求解薛定谔方程即可得到它们的变化规律。**wttt2*2**1()21()2iUrtiiUrti*2*2**11()()22iiUrUrii*22*()2i令**()2iJ得概率分布的连续性方程0Jtw**()2i讨论：（1）把连续性方程两边对空间任意一个体积求积分，得VVdJdtwnVSSdwdJdSJdSdt上式左边是粒子在体积内的概率随时间的变化率，右边代表单位时间内流进或流出该体积的概率。正因为如此，称为概率流密度矢量。VJ（2）如果波函数在无穷远处为零，将积分区域扩展到整个空间，则0nSSJdSJdS*0ddwdddtdt即在整个空间内找到粒子的概率与时间无关，总概率守恒。二、粒子数、质量、电荷守恒定律粒子数密度2(,)NwNwNrt粒子流密度**()2NiJNJN粒子数守恒定律0NNJtw即单位时间内体积内粒子数的改变等于穿过的边界面流出或流入的粒子数。VVS同理：质量守恒定律电荷守恒定律0Jtw0qqJtw三、波函数的标准条件描写体系的物理状态，它必须满足一定的条件，解薛定谔方程时一定要选满足标准条件的解。1．单值性因概率密度、概率流密度矢量有唯一确定的值，所以是和的单值函数。2Jrt2．有限性3．连续性概率密度的连续性要求波函数是连续的，而概率流密度的连续性则要求波函数的一阶导数是连续的。简而言之，波函数应该是单值、有限和连续的。这就是波函数应满足的标准条件。2概率密度不会无穷大，所以也是有限的。四、波函数一般是复数1．薛定谔方程中一边含有虚数，要求波函数不可能是纯实数或虚数。设，u和v为二实量，代入薛定谔方程中，得uiv22()()()()2iuivuivUruivtvrUvtu)(22222()2vuUrut等号两边的实部、虚部分别相等，则u、v彼此相联，不论哪一个都不是薛定谔方程的解，只有复数才是解。2．概率流密度要求波函数也不可能是纯实量或虚量。()()()()2iJuivuivuivuiv如果u、v有一个恒为0，则，不能描写体系的运动，故波函数一般应为复数。0J注：但定态时波函数为实数，描写驻波是可以的。§2-5定态薛定谔方程一、不含时薛定谔方程二、能量本征值和能量本征值方程三、定态及其特点四、含时薛定谔方程的一般解§2-5定态薛定谔方程一、不含时薛定谔方程当时，薛定谔方程存在可以分离变量的特解)(rUU(,)()()rtrft代入薛定谔方程，得22()()()()()()2ftirrUrrftt22()1()()()()()2iftrUrrfttrE令)()(tEfdttdfi/()iEtftCe)()()()(222rErrUr()r因此/(,)()iEtrtre)()()()(222rErrUr定态薛定谔方程二、能量本征值和能量本征值方程从数学上来说，对于任何E值，定态薛定格方程都有解。但并非对于一切E值所得出的解都满足物理上的要求。这些要求中，有根据波函数的统计解释而提出的要求（如单值、有限、连续），也有根据体系的具体物理情况提出的要求（如束缚态时无穷远处波函数为零），只有某些E值所对应的解，才满足物理上的要求。这些E值称为体系的能量本征值，相应的波函数称为能量本征函数，定态薛定谔方程称为体系的能量本征值方程。22()()()2UrrEr上式中是能量算符，称为哈密顿算符，记为22()2Ur22ˆ()2HUr定态薛定格方程简写为)()(ˆrErH一个算符作用在一个函数上等于一个常量乘以该函数，这样的方程叫算符的本征值方程，该函数叫算符的本征函数，该常量叫算符的本征值。比如，力学量的本征值方程为ˆFˆ()()nnnFrfr1,2,3,nnf式中的第个本征值ˆFn()nr对应本征值的本征函数nf如果本征值对应个不同的本征函数nfi()(1,2,,)nri称该本征值i重（度）简并。当体系处于算符的本征态时，具有确定值。ˆF()nrˆFnfˆ()()nnnFrfr三、定态及其特点如果粒子初始时刻（）处于某一个能量本征态0t(,0)()nnrr)(rn满足,且不显含时间，则)()(ˆrErHnnnU/(,)()niEtnnrtre显然，它也满足ˆ(,)(,)nnnHrtErt定态特点：（1）概率密度不随时间改变，形成稳定分布；w（2）概率流密度不随时间改变；J（3）。0J即仍然保持为体系能量的本征态（能量本征值为），所以波函数所描述的态称为定态。(,)nrtnE(,)nrt四、含时薛定谔方程的一般解定态仅是薛定谔方程的一特解，一般束缚态问题中会有许多个定态解/(,)()niEtnnrtre一般解为这些定态波函数的线性叠加/(,)(,)()iEtnnnnnnrtcrtcre可见，一般解不再是定态，E没有单一的确定值，测得E取值的概率为，、与时间有关。nEwJ2nc作业2.1