选修4-5-绝对值三角不等式

2020年3月19日星期四绝对值三角不等式一、复习回顾1.绝对值的定义：|a|=a,a0－a,a00,a=02.绝对值的几何意义：实数a绝对值|a|表示数轴上坐标为A的点到原点的距离.a0|a|Aba|a－b|AB实数a,b之差的绝对值|a-b|,表示它们在数轴上对应的A,B之间的距离.3.绝对值的运算性质：2,aaabab，||||(0)||aabbb定理的引入先填写下表，再观察两数和的绝对值，与两数绝对值的和与差的关系.ab|a|－|b||a+b||a|＋|b|０１25-1-２２-3-3１-1-3-1-12１7３１２17354|a|-|b|＜|a+b|＝|a|+|b||a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b||a|-|b|＜|a+b|＜|a|+|b||a|-|b|＝|a+b|＜|a|+|b|证明定理1:如果,ab是实数，则abab≤(当且仅当0ab≥时，等号成立).||||||aabb2220||,ababab证:(1)当时,||()ababaabb2222||||||||(||||)||||aabbabab22220||,ababab(2)当时,||()ababaabb2222||||||||(||||)||||aabbabab22220ab综合(1)(2)可知,原不等式成立,当且仅当时,等号成立.已知,ab是实数，试证明：≤abab||||||abab证:根据不等式可得|||()|||||,aabbabb||||||,abab即不等式得证．一般地,我们有以下结论：(1)||||||||||ababab(2)||||||||||ababab0,abab且||当且仅当时||,等号成立.⑵若把,ab换为向量,ab情形又怎样呢？⑴若把,ab换为复数12,zz，结论：≤1212z+zz+z成立吗？定理1如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）1z2z12z+z2z2z12z+z如果把,ab换为向量,ab，根据向量加法的三角形法则,易知abab≤.(同向时取等号)定理1（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）abababab由这个图，你还能发现什么结论？定理（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则ababab≤≤注：当、ab为复数或向量时结论也成立.我们还可讨论涉及多个实数的绝对值不等式的问题：推论1（运用数学归纳法可得）：1212nnaaaaaa≤.定理2.如果,,abc是实数,那么acabbc≤,当且仅当()()0abbc≥时,等号成立.证:()()=acabbcabbc，当且仅当()()0abbc≥时,等号成立.0,,23235xaybxyab已知，求证：．例1.2323(22)(33)xyabxayb证：223323xaybxayb235,23235xyab．例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?·10x··20解：如果生活区建于公路路碑的第xkm处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)-460(10)()20(1020)460(20)xxSxxxx2040601020300答:生活区建于两路碑间的任意位置都满足条件.y2040601020300x1020x当时,()Sx取最小值20．S(x)=2(|x-10|+|x-20|)可化减为||1,||1,1.1ababab已知求证例3.1|||1|1abababab证：2222212aabbabab222210abab22(1)(1)0ab||1,||1,ab22(1)(1)0ab成立，11abab22()(1)abab,,.111abababRabab已知求证例4.0ab当时，不等式显证:然成立．0||||||,ababab当时，故有111ab左边11ababab.11abab右边1111ababab原不等式成立．课堂练习2.若a,b是实数,则使|a|+|b|1成立的充分不必要条件的是()1)(baA1)(aC1)(bD21)(aB21b且1.下列各命题中真命题的是(),0ab（C）若,0ab则babababa（D）若,0ab则,0ab（B）若则abab（A）若则ababBD课堂练习：3.(19P1)求证:⑴2ababa≥;⑵2ababb≤4.(19P3)求证:⑴xaxbab≥;⑵xaxbab≤课堂练习115.0,0xraaxar已知，求证．6.1,1nnalal已知求证．7.,22;(2).AaBbABabABab已知，求证：(1)课外思考:作业:课本P19第2，4，5题1.abc、、均为实数,,,abbcac,求证:222322abcbcacababbcca≤.提示:⑴2abcacbc,⑵33(2)(2)acabcbca例3.例3.例8.若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．解:设y＝|x－a|＋|x－2|，则y＝|a－x|＋|x－2|≥[(a－x)＋(x－2)]＝|a－2|，∴ymin＝|a－2|.∵|x－a|＋|x－2|≥1对∀x∈R恒成立，∴|a－2|≥1，解得：a≤1或a≥3.∴实数a的取值范围是(-∞,1]∪[3,+∞)．