4.3.1定积分的简单应用面积

课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动1．进一步理解定积分的概念和性质．2．能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．1．利用定积分求平面图形的面积．(重点)．2．准确认识平面图形的面积与定积分的关系．(易混点)§3定积分的简单应用3．1平面图形的面积【课标要求】【核心扫描】课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动自学导引1．用定积分求平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形(如图)的面积为S，则S＝ab[f(x)－g(x)]dx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动2．求不分割型图形面积的一般步骤：如何用定积分求如图所示阴影部分的面积？课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动提示由直线x＝a，x＝b(a＜b)及曲线f(x)，g(x)(f(x)≥g(x)围成的平面图形的面积S＝abf(x)dx－abg(x)dx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动1．求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及x轴所围成名师点睛几种典型的平面图形面积的计算平面图形的面积S.(1)如图1，f(x)＞0，abf(x)dx＞0，所以S＝abf(x)dx.(2)如图2，f(x)＜0，abf(x)dx＜0，所以S＝abfxdx＝－abf(x)dx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(3)如图3当a≤x＜c时，f(x)＜0，acf(x)dx＜0；当c＜x≤b时，f(x)＞0，cbf(x)dx＞0，所以S＝acfxdx＋cbf(x)dx＝－acf(x)dx＋cbf(x)dx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动2．由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成平面图形的面积S.(1)如图4，当f(x)＞g(x)＞0时，S＝ab[f(x)－g(x)]dx.(2)如图5，当f(x)＞0，g(x)＜0时，S＝abf(x)dx＋abgxdx＝ab[f(x)－g(x)]dx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动[思路探索]用定积分求平面图形的面积时，注意x轴下方的平面图形计算定积分时，通过取绝对值为正．题型一由单一函数曲线围成的平面图形的面积【例1】求由曲线y＝sinx与直线y＝22x3π所围图形的面积．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解法一如图所示，.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(1)准确地画图，并合理分割图形；(2)被积函数与积分上、下限要对应；(3)当面积在x轴的下方时，面积是定积分的相反数．法二由图阴影部分可知，图形由两部分组成，这两部分关于原点对称且面积相等．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练1】求由曲线y＝sinx与x轴在区间[0,2π]上所围成的图形的面积S.解如图所示，所求面积课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动的面积S.[思路探索]作出直线与曲线的草图，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，求出直线与曲线交点的横坐标，利用定积分求面积．题型二求直线与曲线围成图形的面积【例2】计算由直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13所围图形课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解作出直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y＝x2－6x＋13y＝x＋3得直线y＝x＋3与曲线y＝x2－6x＋13的交点坐标为(2,5)和(5,8)．因此，所求图形的面积S＝25(x＋3)dx－25(x2－6x＋13)dx＝25(－x2＋7x－10)dx＝(－13x3＋72x2－10x)|52＝92.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解决这类问题需结合函数图像，把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示，关键有两点：(1)确定积分上、下限；(2)确定被积函数这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分是可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练2】计算直线y＝2x＋3与曲线y＝x2所围图形面积．解析画出图像，如图解方程组y＝2x＋3，y＝x2，得A(－1,1)，B(3,9)．故所求图形的面积为-13(2x＋3－x2)dx＝(x2＋3x－13x3)|3－1＝323.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动审题指导解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．题型三由两条曲线和直线所围成图形面积【例3】(12分)求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．【解题流程】作图→求出两曲线的交点坐标→确定积分区间→确定被积函数――→定积分的性质分解→求值课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动[规范解答]法一画出草图，如图所示．解方程组y＝x，x＋y＝2.y＝x，y＝－13x，及x＋y＝2，y＝－13x.得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．(4分)所以S＝01[x－－13x]dx＋13[(2－x)－－13x]dx(6分)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动＝01(x＋13x)dx＋13(2－x＋13x)dx＝23x32＋16x210＋2x－12x2＋16x231(8分)＝23＋16＋2x－13x231(10分)＝56＋6－13×9－2＋13＝136.(12分)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动法二若选积分变量为y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.(4分)因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．(6分)所以S＝－10[(2－y)－(－3y)]dy＋01[(2－y)－y2]dy＝－10(2＋2y)dy＋01(2－y－y2)dy(8分)＝(2y＋y2)|0－1＋2y－12y2－13y310(10分)＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.(12分)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【题后反思】由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练3】求由曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．解如图，由y＝ex，y＝e－x，解得交点为(0,1)．所求面积为S＝01(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)10＝e＋1e－2.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动误区警示对定积分的几何意义理解有误而致错【示例】如图，函数y＝f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为()．A.abf(x)dxB.acf(x)dx－cbf(x)dxC．－acf(x)dx－cbf(x)dxD．－acf(x)dx＋cbf(x)dx[错解]A，B，C.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为：x轴上方的定积分减去x轴下方的定积分．[正解]如图所示，在[a，c]上f(x)≤0；在[c，b]上，f(x)≥0，所以函数y＝f(x)在区间[a，b]上的阴影部分的面积S＝－acf(x)dx＋cbf(x)dx，故选D.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动我们知道，当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴，函数f(x)的图像以及直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动单击此处进入活页规范训练