2020年上海长宁初三数学一模试卷及答案

12019学年第一学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分）【每题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1.下列函数中是二次函数的是（A）22xy；（B）22)3(xxy；（C）122xxy；（D）)1(xxy.2.如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点），（32A，那么OA与x轴正半轴的夹角的余切值是（A）23；（B）32；（C）13133；（D）13132.3.将抛物线3)1(2xy向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（A）3)1(2xy；（B）3)3(2xy；（C）1)1(2xy；（D）5)1(2xy.4.下列命题正确的是（A）如果ba，那么ba；（B）如果ba、都是单位向量，那么ba；（C）如果)0(kbka，那么ba//；（D）如果0m或0a，那么0am．5.已知在矩形ABCD中，5AB，对角线13AC，⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（A）⊙C与直线AB相交；（B）⊙C与直线AD相切；（C）点A在⊙C上；（D）点D在⊙C内.6.如果点D、E、F分别在ABC的边AB、BC、AC上，联结EFDE、，且ACDE//，那么下列说法错误的是（A）如果ABEF//，那么ABBDACAF::；（B）如果ACCFABAD::，那么ABEF//；（C）如果EFC∽BAC，那么ABEF//；（D如果ABEF//，那么EFC∽BDE.OyAα第2题图x2二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.计算：)(3)2(2baba▲．8.如果23yxx，那么yx的值等于▲．9.已知点P在线段AB上，且满足APABBP2，则ABBP的值等于▲．10.已知抛物线2)1(xay的开口向上，则a的取值范围是▲．11.抛物线122xy在y轴左侧的部分是▲．（填“上升”或“下降”）12.如果一条抛物线经过点)5,2(A，)5,3(B，那么它的对称轴是直线▲．13.如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度4.2:1i，那么物体所经过的路程AB为▲米．14.如图，AC与BE交于点D，90EA，若点D是线段AC的中点，且10ACAB，则BE的长等于▲．15.如图，在ABCRt中，90BAC，点G是重心，4AC，31tanABG，则BG的长是▲．16.已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为▲．17.如果直线l把ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做ABC的“完美分割线”．已知在ABC中，ACAB，ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若2AB，则BC的长等于▲．18.如图，在ABCRt中，90ABC，2AB，4BC，点P在边BC上，联结AP，将ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B，则BB的长等于▲．三、解答题（本大题共7题,满分78分）【将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上】19．（本题满分10分）计算：22sin30tan60cot45cos60cos30sin45．第15题图ABCG第18题图ABC第13题图AB传送带5米第14题图EDBCA320．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，在梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，BCEFAD////，EF与BD交于点G，5AD，10BC，32EBAE．（1）求EF的长；（2）设aAB，bBC，那么DB▲；FC▲（用向量a、b表示）．21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且ACBC，联结AO、CO，并延长CO交弦AB于点D，34AB，6CD．（1）求OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，AOBE//，求BE的长．22．（本题满分10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线CBAO表示支架，支架的一部分BAO是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，OMAO，垂足为点O，且7cmAO，160BAO，OMBC//，cm8CD．将图2中的BC绕点B向下旋转45，使得BCD落在DCB的位置（如图3所示），此时OMDC，OMDA//，16cmDA，求点B到水平桌面OM的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F．若AE平分BAC，AEACAFAB．（1）求证：AECAFD；（2）若CDEG//，交边AC的延长线于点G，求证：BDFCCGCD．第20题图ABCDEFG图1第21题图ABCEDO图3MDOABC45°160°第23题图GACBEDF图2MOAB160°CD424.（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线nmxxy231经过点)1,6(B、)0,5(C，且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作OAPQ，交线段OA的延长线于点Q，如果45PAB，求证：PQAΔ∽ACBΔ；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F恰好在上述抛物线上，求FF的长．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，已知在ABCRt中，90C，8AC，6BC，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且CQAP，过点P作ABPM，垂足为点M，联结PQ．以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM．设xAP，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求PQM的正切值；（2）当点N在ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．ABC备用图第25题图ABCPQMNABC备用图第24题图图yxCABO5长宁区2019学年第一学期初三数学参考答案和评分建议2019.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D；2．B；3．A；4．C；5．D；6．C．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．ba5；8．3；9．215；10．1a；11．下降；12．21x；13．13；14．56；15．3104；16．17240；17．424；18．5102．三、（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）解：原式=2123211)3(212(6分)=132(2分)=13(2分)20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）解：（1）∵32EBAE∴35EBAB，52ABAE（1分）∵ADEF//∴EBABEGAD∵5AD∴355EG∴3EG（2分）∵BCEF//∴DCDFBCGF又∵BCEFAD////∴DCDFABAE∴ABAEBCGF∵10BC∴5210GF∴4GF（2分）∴743GFEGEF（1分）（2）baDB21，baFC10353（2分+2分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设圆O的半径为r,则OD的长为r6（1分）∵CD过圆心O,ACBC∴3221ABAD，ABCD（1分）在ADORt中，90ADO∴222ODADAO6∴222)6()32(rr∴4r（2分）在ADORt中，90ADO，23432cosAOADBAO∴30BAO（1分）(2)过点O作BEOH，垂足为点H，∴BHBE2（1分）∵AOBE//∴30OABEBA（1分）联结BO，∴4AOBO∴30OABOBA∴60OBAEBAOBH（1分）在OBHRt中，90BHO，BOBHOBHcos∴260cos4BH（1分）∴42BHBE（1分）22．（本题满分10分）解：过点B作CD的垂线交CD的延长线于点E，延长OA交BE于点F，设xEC，由题意可知：70EBA，45CEB，8DC，16DAEF，8xEDAF（4分）在CBERt中，90CBE，ECBECEBcot得xECECCEBECBE45cotcot（1分）∴16xEFBEBF（1分）在BFARt中，90BFA，BFAFABFtan得16870tanxx∴5.2936.0136.081670cot170cot816x（1分）∴cm455.44785.2978xAOAFFO．（1分）∴点B到水平桌面OM的距离约为45cm（1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵AEACAFAB∴AFAEACAB（1分）∵AE平分BAC∴CAFBAE（1分）∴ABE∽ACF（1分）∴ACFB（1分）又∵BAEBAECCAFACFAFD,∴AECAFD（1分）7(2)∵AECAFD，CFEAFD∴AECCFE（1分）∴CEFC（1分）∵CDEG//∴CEGDCBGACF又∵BACF∴GB（2分）∴BCD∽GEC（1分）∴CGBDCECD（1分）∴CGBDFCCD即BDFCCGCD．（1分）24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）∵抛物线nmxxy231过点)1,6(B、)0,5(C∴055311663122nmnm∴538nm（2分）∴538312xxy（1分）令0x得5y，∴点A的坐标为)5,0(（1分）（2）∵)5,0(A，)1,6(B，)0,5(C∴25AC，2BC，132AB∴222BCACAB∴90ACB又∵OAPQ∴90PQA∴ACBPQA（1分）∵)5,0(A，)0,5(C∴OCOA，∵90AOC∴45OCAOAC（1分）∵180CAOBACPABQAP，45PAB∴90BACQAP∵90BACABC∴ABCQAP（1分）∴PQAΔ∽ACBΔ（1分）（3）设点B是点B关于直线AC的对称点，则2BCCB，90ACBBAC过点B作xBG轴，垂足为点G∵90OCACOB，45OCA，∴45COB∴1GCGB∴），（1-4B（1分）∵点F同时在线段BA与抛物线上，∴设)53831,(F2xxx8分别过点F，B作轴yHF，轴yHB，垂足分别为H、H，则HBH//F∴HAAHHBHFBAFA即6313842xxx∴27x（1分）又∵ACFF，ACBB∴B//BFF∴