第4章 投资组合选择方法(2)

风险资产和资产组合的收益与风险1.单个风险资产的收益与风险2.资产组合的收益与风险3.方差---协方差矩阵的计算基准映射方法、因素模型法、主成分分析法,主因子分析法一.单个风险资产的收益与风险用表示某个风险资产在时刻t的价值,定义4.1:定义前后两个时刻的资产价格比的自然对数为持有期内的投资收益率，即tp1ln/tttrPP这种收益率称为几何收益率或连续复合收益率,它是一种连续计息的方式.由上式得trttepp1如果在资产持有期内企业派发了红利,资产的几何收益率为定义4.2:资产的算术收益率或离散收益率定义为1ln()/ttttrPdP1111ttttttpppppr目前在大多数的金融计算中都采用几何收益率.在实践中通常假设资产收益率服从正态分布,但算术收益率的范围在-100%—+无穷大之间，这与正态分布的假设相矛盾,而几何收益率却不存在这个问题.几何收益率和算术收益率之间的关系表示资产在期初和期末的价格表示几何收益率,表示算术收益率gtratr0,tPP200(1())gtrtgtgtPPePrOr0(1)tatPPr当收益率很小(期限短,或收益不大)时,两者的差别很小.资产收益率的估计方法资产在投资期末的价格是将来发生的，一般受很多因素的影响，是一个随机变量，因而收益率也是一个随机变量，只能预测和估计。用历史收益率(几何收益率或算术收益率)的平均值作为期望收益率,假定资产在未来持有期收益率的概率分布同它的历史收益率的概率分布相同.月份资产价格几何收益率（％）算术收益率（％）0123456789101112平均值36.0034.8933.0535.2538.1237.8839.0840.1642.0043.8445.0046.7545.9039.84-3.13-5.426.447.83-0.633.122.734.484.292.613.82-1.842.02-3.08-5.276.668.14-0.633.172.764.854.382.653.89-1.822.14某资产月收益率的估计计算公式TtAtArTrE11AtrTt,,2,1资产A的T个持有期相同的历史收益率(时间跨度要相同)AEr资产在未来时间跨度相同的持有期内的期望收益率这是一种等权加权平均的方法,权重都为1T用加权平均的方法来估计资产的预期收益率1,TAtAttErwr11Tttw要求对越有价值(接近)的数据赋的权重越大.不同投资期限的收益率的估计值利用资产已有的历史数据估计资产不同期限的收益率.从月收益率得出年收益率:几何收益率:设12个月的几何收益率为则有1212,,,gggrrr121212121200ggggggrrrrrrppeeepe由此得年几何收益率为1201212ln/gygggrPPrrr几何收益率具有时间可加性算术收益率:设12个月算术收益率为则有1212,,,aaarrr1201212(1)(1)(1)aaapprrr由此得年算术收益率为12012120(1)(1)(1)1ayaaapprrrrp算术收益率不具有时间可加性，这也是投资分析时算术收益率不太常用的一个原因用收益的波动性度量风险资产的风险是由于资产价格的波动引起的,通常将资产的风险定义为在未来持有期内资产价值的不确定性.方差或标准差是度量不确定性的一个最常用的指标.用资产收益率的方差作为资产风险的度量.方差的定义:22))((AAArErEAr资产A的收益率，它是一个随机变量.()AEr资产A的期望(平均)收益率.如果已知资产收益的T个(期)历史数据TtAAtArErT122)(1Atr表示资产A的第t期收益率不同资产的价格和收益率之间有相互影响,用收益率的协方差来度量这种相互影响的程度。资产A和B的收益率之间的协方差定义为cov,[()()]ABABAABBrrErErrEr如果已知两资产在T个相同期限内收益的历史数据,则它们收益率之间的协方差估计为11cov,()()1TABABAtABtBtrrrErrErT协方差将应用于资产组合风险的计算.协方差的大小依赖于收益率的单位，为了避免不同收益率单位带来的影响，通常用与收益率单位无关的相关系数作为衡量不同资产收益之间相互影响的程度。相关系数相关系数定义为BAABBABAABrr,cov22,AABB资产A,B收益的标准差相关系数的性质11AB(1)(2)如果两资产收益率正线性相关0AB,0AtBtrcdrd两资产收益率具有相同的变化方向，即资产A收益率随着资产B收益率的增加而增加，随着资产B收益率的减小而减小。(3)如果两资产收益率负线性相关,0AB,0AtBtrcdrd两资产收益率具有相反的变化方向，即资产A收益率随着资产B收益率的增加而减小，随着资产B收益率的减小而增加。(4)如果两资产收益率不相关，0AB资产A的收益率不受资产B的收益率变化的影响，它按照自己的规律变化。方差与协方差的计算二.投资组合的收益与风险投资组合是由多种资产,如证券、债券、股票等按照一定的比例构成的一个投资搭配.投资组合的目的在于通过分散投资,降低风险,确保收益,这是现代投资组合理论的基本点原理.怎样确定合适的投资组合,首先要明确投资组合的收益和风险的计算.考察有n个风险资产的组合,已知每个资产的期望收益率:每个资产收益的波动性:每两个资产收益之间的相关程度:,1,2,,iErin2,1,2,,iin,1,2,,,1,2,,,ijinjnij假设对每个资产的投资比例为,1,2,,ixin要求11niix如果还要求表明市场不允许卖空.否则为允许卖空.一个资产组合的收益和风险是x的函数,它取决于对不同资产的具体投资比例.组合的期望收益0,1,2,,ixinniiinnxrExrExrExrExrE12211组合的风险211nnxijijijxx矩阵向量表示组合的期望收益组合的风险xRRxrETTxnrErErER21nxxxx21VxxTx2方差-协方差矩阵nnnnnnV212222111211三.方差---协方差矩阵的计算基本要求:避免高维的方差--协方差矩阵;确保方差--协方差矩阵的半正定性;有适量的可靠的观测样本数据;导致非正定的原因:样本数据太少;不同资产收益之间的高相关性;(不要用收益相关程度高的资产进行投资组合,达不到组合分散投资的效果).简化方差—协方差矩阵降低维数;降低相关性;主要方法:基准映射方法、因素模型法、主成分分析法,主因子分析法（一）．基准映射方法选择若干个核心金融工具作为基准，将投资组合中各种资产的头寸映射成这些核心金融工具的组合。核心金融工具的选择:(A)外汇头寸:选择外汇市场上的核心外汇，如美元作为基准，将其他不同品种的外汇头寸映射为等价的基准币种的头寸进行组合;(B)股票头寸:用相应的股票指数表示的等价组合(C)固定收益债券:对于不同期望，不同收益率的债券可以映射为有限数量、特定到期日的现金流的组合;(D)商品头寸:用标准期货合约作为基准,映射为标准期货合约的组合;（二).因素模型法分单因素模型法(又称对角线模型)和多因素模型法。(A)单因素模型(对角线模型)法假定组合中所有资产价值的变化都受一个共同风险因子—--市场因子的影响,再根据资本资产定价模型(CAPM),把不同资产的收益表示为,1,2,....,,iiimirRinα市场因子的收益,是一个随机变量,表示误差,满足mRnii,....2,1,22(,)0,(,)0,().iimijiCovRCovvar,1,2,....,iin贝塔系数,他们的估计可参看CAPM模型资产收益分布的方差2222,1,2,....,.iiimin两资产收益分布间的协方差2,,1,2,....,1,2,....,,.ijijminjnij方差---协方差矩阵为2TmD1221222,.nnD估计的参数只有2n+1个,对于分散程度好的投资组合，上述矩阵的第二项非常小，可以忽略不计,对包含大量资产的投资组合的方差---协方差矩阵的计算，这种近似非常有用.(B)多因素模型单因素模型只选择一个风险因子，过于简单,用多因子模型以提高估计的精确性,假定每个资产的收益率由k个共同的互不相关的风险因子确定,222111222....TTTKKKD1122....,1,2,....,iiiiiKkirfffinα相互独立的市场因子12,,....,kfff方差---协方差矩阵可以表述为222222221122iiiiikk222111222ijijijikjkk这是因为(三)主成分分析法通过选择主要成分,略去次要成分来降低方差—协方差矩阵的维数.设从K个市场因子中选择s个主成分,则有AfgTkffff),....,,(21市场因子向量Tsgggg),...,,(21主成分向量主成分分析法的关键在于确定主成分的个数s以及系数矩阵A.设K个市场因子分布间的相关系数矩阵为R,其特征值为111212122212......,.........kkssskaaaaaaAaaa系数矩阵12....0,k相应的标准正交的特征向量为12,,....,kppp可以选择前s个特征向量来构成上述系数矩阵A12[,,....,]TsAPPP确定主成份的个数s,设为事先确定的选择主成分的贡献率()则主成分个数s由下式确定α85%α(1),(),contscontsαα11(),skiiiiconts主成分确定后方差---协方差矩阵的计算(1)把各资产的价值近似表示为的函数(2)投资组合的价值变化为g(,)(,)iiivvAgtvgtniiivxv11111(,)(,),nnssiiiijpjjiijjjvgtvgtxtxggtg1(,),1,2,....,,nijiijvgtxjsg第j个主成分的累积因素(3)由这s个主成分组成的方差---协方差矩阵为ggsggdiag],,,[222212(),1,2,,,gjjVargjs第j个主成分波动的方差,由于特征向量标准正交,主成分之间不相关,因而相关性为0,方差—协方差矩阵为对角矩阵.市场因子收益分布间的方差---协方差矩阵gAf12[,,....,]TsAPPP由于fPgTjj我们有FjTjgjsjPP,,2,1,2由此得F1122TFTFgTssFPPPPPP选用主成份后的方差—协方差矩阵主成份分析法首先要计算市场因子分布间的相关系数矩阵的特征值和相应的特征向量,再确定主成份的个数和系数矩阵A,由此可以计算简化的主成分的方差--协方差矩阵矩阵.这一过程对于单一的计算给定投资组合的风险意义不大，但对于确定后面介绍的最优投资组合选择可以极大地减少计算工作量,因为一旦主成分的方差—协方差矩阵确定后,在优化过程中的所有计算只涉及主成分的方差—协方差矩阵,而不涉及原来的方差—协方差矩阵,从而减少计算工作量，提高算法的效率。不足:主成分是市场因子向量的不同线性组合,其代表的经济意义不明确,这对于具