第4章 根轨迹法

第四章根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念4-2常规根轨迹的绘制法则4-3广义根轨迹4-4用根轨迹分析系统的性能4-1根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根指的是闭环特征根(闭环极点)。根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。例已知系统开环传递函数，讨论0K∞变化时闭环极点的分布情况特征方程为：0440)(12KsssG特征根为：K-122sK122s21－)(SR)(SC)125.0(ssK)1s52.0(sK)s(G)4s(sK4由可得闭环极点的变化情况：K=0s1=0s2=-40K1s1s2为不等的负实根K=1s1=-2s2=-2K=2s1=-2+2js2=-2-2j1K∞s1s2实部均为-2K=∞s1=-2+j∞s2=-2-j∞K-122sK122s21K=0s1=0s2=-40K1s1s2为不等的负实根K=1s1=-2s2=-21K∞s1s2实部均为-2由根轨迹可知：1）当K=0时,s1=0,s2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0K1时,s1,2都是负实根,随着k的增长,s1从s平面的原点向左移,s2从-1点向右移。3)当K=1时,s1,2=-2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。4)1K∞,s1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K0都是稳定的。(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。由此可知：1.利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。2.根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。绘制根轨迹的思路：通过一些绘制法则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。二、闭环零极点与开环零极点的关系)()(sHsG)()(1)()(sHsGsGsG(S)H(S)-R(s)C(s)开环传递函数闭环传递函数一般情况下，前向通路传递函数前向通路根轨迹增益Zi为前向通路的零点;Pi为前向通路的极点反馈通路传递函数aiizs1)()(*GKsG)(*HKsHbiips1)(cjjzs1)(djjps1)(*GK*HK反馈通路根轨迹增益Zj为反馈通路的零点;Pj为反馈通路的极点)()(*KsHsG**)(KKsGbiips1)(aiizs1)(cjjzs1)(djjps1)(***HGKKK开环系统根轨迹增益aiizs1)(djjps1)(biips1)(djjps1)(aiizs1)(cjjzs1)(开环传递函数结论：1.闭环零点由前向通路的零点和反馈通路的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。2.闭环根轨迹增益等于开环前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益就等于开环根轨迹增益。3.闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增益有关。注意开环根轨迹增益与开环增益的区别。三、根轨迹方程根轨迹方程即为或假设开环传递函数中有m个零点和n个极点,根轨迹方程可表示为：1)()(0)()(111*11*niimiiniimiipszsKpszsK或K*从0到无穷大变化0)()(1sHsG1)()(sHsG模值方程：111*niimiipszsK相角方程:2,1,0,)12()()(11kkpszsniiimi由于s为复数，所以根轨迹方程的另一种表示方法:绘制根轨迹利用相角方程，求根轨迹上某点对应的K*值则用模值方程。4-2常规根轨迹的绘制法则一、绘制根轨迹的基本法则1.根轨迹的起点与终点K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点，K*=∞时对应的根轨迹点称根轨迹的终点根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终于无穷远处（无限零点）。2.根轨迹的分支数和对称性分支数=特征方程阶数；根轨迹对称于实轴。3.根轨迹在实轴上的分布情况实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为奇数时，则该区域是根轨迹。因为对实轴根轨迹上的任一点s1来说,其左边的开环零、极点到s1点的相角总是0，对相角方程没影响。其右边的开环零、极点到s1点的相角总是π，共轭零极点到s1点的相角之和也是零,只有s1右边的开环零、极点到s1的相角为π,而相角方程：因而s1的右侧只有奇数个开环零、极点才会满足相角方程。......).2,1,0()12()()(11kkpszsniiimip2p1p3p4z1z2z3jS14.根轨迹的渐近线开环极点数n,开环零点数m,有n-m条根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷远处。nm时才有渐近线,渐近线的绘制方法:确定渐近线与实轴的交点坐标бa和实轴正方向夹角，渐近线即可绘出。（zi为已知的开环零点，pi为已知的开环极点）amnzpmnknimiiiaa11,)12(1800a1mn90900a2mn45450a4mn60601800a3mnjjjj5.根轨迹的分离点分离点:L条根轨迹分支在s平面上相遇后又立即分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点)，用d表示。d为特征方程重根的值。分离点计算公式：nimiiizdpd1111若系统无开环零点，则niipd101根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。实轴上的分离点：1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限零点）。注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。分离点处根轨迹分支间的夹角:离开分离点的根轨迹分支和进入分离点的根轨迹分支切线夹角称为分离角,用表示,则l1,1,0,)12(lklkl列分离点方程586.0,414.3024211111212dddddjdjd整理得解得显然d2不在根轨迹上，应舍弃。-1+j-1-j-1-2-3-4j0开环传递函数：)j1s)(j1s()2s(*K2s2s)2s(*K)s(G2d1法则:仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实数极点之间。当k*从0到无穷变化时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。6.根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点情况)起于开环复极点的根轨迹,在起点处的切线与正实轴的夹角,称为根轨迹的起始角。终止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与正实轴的夹角叫终止角。plzlnimliiililzlminliiililplzzpzkppzpk1111)12()12(）（）（）（）（7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹方程1+G(s)=0令s=jw代入根轨迹方程得1+G(jw)=0,然后分别令1+G(jw)的实部和虚部都等于0,即可求得根轨迹与虚轴的交点,及此时的K*。8.根之和闭环特征方程记为当n-m≥2时，有故系统特征根之和可用来判断根轨迹的走向。*1)(Kpsnii0)(1miizs0111nnnnasasasniiniips11niipa11绘制根轨迹的步骤(1)把闭环特征方程表示成根轨迹方程的形式(P96式4.2.8)，画出开环零极点分布图；(2)实轴上的根轨迹(3)求渐近线与实轴的夹角和交点(4)求起始角和终止角（一般不会遇到）(5)求出分离点注：实轴上的根轨迹不能画错，用粗线标出；渐近线、分离点一定要求；渐近线虚线，根轨迹要标箭头。)2s2s)(3s(sK)s(G2*例:已知单位反馈系统的开环传递函数为:试绘制K*从0到∞时系统的根轨迹.解:(1)有4个开环极点,P1=0,P2=-3,P3,4=-1±j.n=4，没有开环零点,m=0；分支数=开环极点的个数=特征方程阶数∴有4个根轨迹分支（2）实轴上根轨迹为[0,-3]区间；（3）渐近线条数n-m=4条，4个根轨迹分支沿着渐近线都趋于无穷远处；25.14)1()1()3(0.135,45)12(11jjmnzpmnknimiiiaa渐近线与实轴正方向的夹角：与实轴的交点：(4)分离点坐标:n1ii0j1d1j1d13d1d10Pd1则用试探法求得d=-2.3分离角)2l(90l180l(5)求起始角m1inli1iili3pl3l),pp()zp()1k2(其中m=0n=40)k(6.71906.26135)1k2()j1(j1()3j1()j1()1k2()pp()pp()pp()1k2(4323133p取－－由根轨迹的对称性可知(6)根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程为0685)(*234KsssssD令s=jw代入实部和虚部都为0得:16.8K1.1ω（舍去），0K0ω0ω6ω50Kω8ω**3*246.714p系统根轨迹为下图：根轨迹示例j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j二、闭环极点的确定每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点，应在准确的根轨迹上按模值方程确定。较简便的方法：对于特定K*值的闭环极点，使用试探法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法确定其余的闭环极点。4-3广义根轨迹绘制根轨迹时，可变参数可以是控制系统中的任何一个参数,如某开环零点、开环极点。以非开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫广义根轨迹。负反馈系统中以开环根轨迹增益K*为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹。广义根轨迹分为参数根轨迹和零度根轨迹。一、参数根轨迹引入等效开环传递函数的概念,参数根轨迹的绘制方法与常规根轨迹完全相同。1.开环零点变化时的根轨迹例1.设系统结构图如图所示,试绘制Kt由0到∞变化时的根轨迹。)2(10ssC(s)1+Kts-R(s)2)s(s10解:系统开环传递函数为：)2()1(10)()(sssKsHsGt闭环传递函数为：sKsssssKssstt1010210)2()1(101)2(10)(2ttttttKKjsjssKsssKSGsssKsKss10)31)(31(10210)(0102101010102**2122整理:令构造一个新系统,与原系统具有相同的闭环特征方程。为等效的开环传递函数。闭环特征方程为:)(1SG新系统的结构图新系统的闭环传递函数：