2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算(用)

向量共线的条件与轴上向量坐标运算引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线的概念：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行。abcd一、向量共线的条件由向量平行和向量数乘的定义可以推知：平行向量基本定理如果，则；反之，如果()，则存在唯一一个实数，使λbλaababobbλa为什么要求ob如果则如果则，如果的长度是长的一半，并且方向相反，则ba2;babc2bcbddbbd21abb2b2cdb21给定一个非零向量，与同方向且长度等于1的向量，叫做向量的单位向量。aaaa10a或如果向量的单位向量记作，由数乘向量定义可知0a0aaaaaa0a单位向量CABMN证明：M、N分别是AB、AC边上的中点例题讲解（一）例1、如图所示，、是的中位线。求证：,且MBCMN21BCMNABCNACAMABAM21,21ABACAMANMN2121BCABAC21)(21BCMNBCMN21,例题讲解（二）例2、已知试问向量与向量是否平行并求.2,3ebeaabba:解：由得，代入得因此，与平行且eb2be21ea3ba23ab23:ba定理的实质是向量相等，即存在唯一实数使，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助实数沟通了两个向量与的联系ab)(oaba二、轴上向量坐标运算轴的概念规定了方向和长度单位的直线叫做轴已知轴取单位向量,使的方向与同方向，根据平行的条件，对于轴上任意向量一定存在唯一数，使反过来，任意给定一个实数，我们总能作一个向量，使它的长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致。lelexexaxaxl轴和数轴的区别想一想le当与同方向时，是正数当与反方向时，是负数aaexex给定一向量能生成与它平行的所有向量的集合这里的向量叫做轴的基向量。叫做在上的坐标（或数量）eRxexelxal（其中）exa轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。设于是，得如果则反之，如果，则,,21exbexa,ba21xx21xx,baexxba)(21OABCle设是轴上的一个基向量,显然，，与绝对值相同，符号相反，即eleABABeBABA0BAABBAABACBCABeACeBCeABeACeBCAB)(因为oe所以ACBCAB在数轴上，已知点的坐标为，点的坐标为x1xAB2x12xxAB即数轴上两点距离公式为12xxABoA1x302xBPxOBOAOBAOAB12xx于是得到例题讲解三例3、已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是4、-2、-6，求的坐标和长度。CABCAB,,O4-2-6l解：,64)2(AB66AB,4)2(6BC44BC,10)6(4CA1010CA练习1、已知数轴上三点、、的坐标分别为求、、的坐标和长度ABC,5,2,8ABBCCA设、、的坐标分别为ABCxxx3,2,16)8(212xxAB6AB7)2(523xxBC7BC135831xxCA13CA练习2已知两个非零向量和不共线，如果求证：三点共线1e2e,3221eeAB,23621eeBC.8421eeCDDBA,,ABeeeeeeeeeeCDBCABAD6)32(6181284236322121212121向量与向量共线，且有共同起点故三点共线。ADAB,ADBA,,解：变式引申已知非零向量和不共线，欲使和共线，是确定的值。1e2e21eek21ekek解：因为和共线21eek21eke)(2121ekeeek所以存在实数，使21)1()(ekek则由于与不共线，1e2e010kk1k只能有，则已知向量，其中不共线，向量问是否存在这样的实数，使向量与共线？212132,32eebeea21,ee2192eec,badc解：假设存在这样的实数使与共线，,badc)32()32(2121eeeebad21)33()22(ee要使与共线，则应有实数，使即ckdkdc212192)33()22(ekekee由kk9332222得故存在这样的使与共线,dc某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正北方吹来，而当速度为2a公里时，感到风从东北方向吹来，试问实际风速和风向。vaa解:设表示人以每小时a公里的速度向东行驶的向量。在无风时此人感到的风速为。设实际风速为,那么此人所感到的风速向量为.设，由于从而aaavaOBaOA2,PAOAPOavPABOPAv这就是感到从正北方向吹来得风速。由于，从而于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是由题意，得从而为等腰直角三角形，故即答：实际吹来的风是风速为的西北风。PBOBPOPBav2PBAOBABOPAPBO,,450PBOaPBPO2av2a2