2018课标版文数一轮(4)第四章-三角函数、解三角形2-第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式

教材研读考点突破栏目索引文数课标版第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式教材研读考点突破栏目索引 1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:①sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:② =tanα.sincosαα教材研读教材研读考点突破栏目索引2.三角函数的诱导公式公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=③cosα,tan(α+2kπ)=tanα,其中k∈Z.公式二:sin(π+α)=④-sinα,cos(π+α)=⑤-cosα,tan(π+α)=tanα.公式三:sin(-α)=⑥-sinα,cos(-α)=⑦cosα,tan(-α)=-tanα.公式四:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=⑧-cosα,tan(π-α)=-tanα.公式五:sin =⑨cosα,cos =⑩sinα.公式六:sin = cosα,cos = -sinα. 2α2α2α2α教材研读考点突破栏目索引判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1. (×)(2)若α∈R,则tanα= 恒成立. (×)(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角. (×)(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化情况. (√) sincosαα2教材研读考点突破栏目索引1.sin(-600°)的值为 ()A. B. C.1D. 答案Asin(-600°)=sin(-720°+120°)=sin120°= .322233322.若cosα= ,α∈ ,则tanα等于 ()A.- B. C.-2 D.2 答案C由已知得sinα=- =- =- ,∴tanα= =-2 ,选C.13,0224242221cosα119223sincosαα2教材研读考点突破栏目索引3.已知tanα=- ,且α为第二象限角,则sinα的值为 ()A. B.- C. D.- 答案C∵tanα= =- ,∴cosα=- sinα,又sin2α+cos2α=1,∴sin2α+ sin2α= sin2α=1,又由α为第二象限角知sinα0,∴sinα= ,故选C.51215115513513sincosαα5121251442516925513教材研读考点突破栏目索引4.已知tanα=2,则 的值为.答案 解析∵tanα=2,∴ = = = .sincossincosαααα13sincossincosααααsincoscoscossincoscoscosααααααααtan1tan1αα13教材研读考点突破栏目索引5.已知sinθ+cosθ= ,θ∈ ,则sinθ-cosθ的值为.答案- 解析由题意知(sinθ+cosθ)2= ,∴1+2sinθcosθ= ,430,423169169∴2sinθcosθ= ,∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1- = ,可得sinθ-cosθ=± .又∵θ∈ ,∴sinθcosθ,∴sinθ-cosθ0,∴sinθ-cosθ=- .797929230,423教材研读考点突破栏目索引考点一同角三角函数的基本关系式典例1已知α是三角形的内角,且sinα+cosα= .(1)求tanα的值;(2)把 用tanα表示出来,并求其值.解析(1)解法一:联立   由①得cosα= -sinα,将其代入②,整理得25sin2α-5sinα-12=0.∵α是三角形的内角,∴sinα= ,∴cosα=- ,15221cossinαα221sincos,5sincos1,αααα①②154535考点突破教材研读考点突破栏目索引∴tanα=- .解法二:∵sinα+cosα= ,∴(sinα+cosα)2= ,则1+2sinαcosα= ,∴2sinαcosα=- ,43152151252425∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+ = .∵sinαcosα=- 0且0απ,∴sinα0,cosα0,∴sinα-cosα0.∴sinα-cosα= .24254925122575教材研读考点突破栏目索引∵tanα=- ,∴ = = =- .43221cossinαα22tan11tanαα22413413257由 得 ∴tanα=- .(2) = = = .1sincos,57sincos,5αααα4sin,53cos,5αα43221cossinαα2222sincoscossinαααα222222sincoscoscossincosαααααα22tan11tanαα教材研读考点突破栏目索引规律总结(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 =tanα可以实现角α的弦切互化.(2)对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.(3)注意对sin2α+cos2α=1的逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.sincosαα教材研读考点突破栏目索引变式1-1保持本例条件不变,求:(1) 的值;(2)sin2α+2sinαcosα的值.解析tanα=- ,则:(1) = = = .(2)sin2α+2sinαcosα= = = =- .sin4cos5sin2cosαααα43sin4cos5sin2cosααααtan45tan2αα443452387222sin2sincossincosααααα22tan2tantan1ααα168931619825教材研读考点突破栏目索引1-2(2016江苏南京模拟)已知α为第二象限角,则cosα +sinα=.答案0解析原式=cosα +sinα =cosα· +sinα· ,因为α是第二象限角,所以sinα0,cosα0,所以cosα· +sinα· =-1+1=0,即原式等于0.21tanα211tanα222sincoscosααα222sincossinααα1|cos|α1|sin|α1|cos|α1|sin|α教材研读考点突破栏目索引考点二三角函数的诱导公式典例2(1)若sinα是方程5x2-7x-6=0的根,则 = ()A. B. C. D. (2)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)sin(-1050°)=.233sinsintan(2)22coscossin()22αααααα35534554教材研读考点突破栏目索引解析(1)方程5x2-7x-6=0的两根为x1=- ,x2=2,则sinα=- ,所以原式= =- = .(2)原式=-sin1200°cos1290°-cos1020°sin1050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin120°cos210°-cos300°sin330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°= × + × =1.35352cos(cos)tansin(sin)(sin)αααααα1sinα5332321212答案(1)B(2)1教材研读考点突破栏目索引1.巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的具有互余关系的角有 -α与 +α, +α与 -α, +α与 -α等,常见的具有互补关系的角有 +θ与 -θ, +θ与 -θ等.363644323434规律总结2.用诱导公式化简求值,应遵循:(1)“负化正”,运用诱导公式将负角的三角函数化为正角的三角函数.(2)“大化小”,利用诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的角的三角函数.(3)“小化锐”,将大于90°的角的三角函数化为0°到90°的角的三角函数.(4)“锐求值”,得到0°到90°的角的三角函数后,若是特殊角,则可直接求得,若是非特殊角,则可由计算器求得.教材研读考点突破栏目索引2-1若cos =- ,则sin =.答案 解析∵cos =- , - = ,即α- = - ,∴sin =sin =-sin =-cos = .3α136α133α133α6α263α26α32α23α3α13教材研读考点突破栏目索引2-2已知cos = ,则cos -sin2 的值为.答案- 解析因为cos =cos =-cos =- ,sin2 =sin2 =sin2 =1-cos2 =1- = ,所以cos -sin2 =- - =- .6α3356α6α23356α6α6α336α6α6α6α2332356α6α3323233教材研读考点突破栏目索引考点三三角函数式的化简与求值典例3(1)已知A= + (k∈Z),则A的值构成的集合是 ()A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}(2) =.答案(1)C(2)-1解析(1)当k为偶数时,A= + =2;当k为奇数时,A= - =-2.sin()sinkααcos()coskαα3tan()cos(2)sin2cos(3)sin(3)αααααsinsinααcoscosααsinsinααcoscosαα教材研读考点突破栏目索引∴A的值构成的集合是{2,-2}.(2)原式= = = =- =- · =-1.tancossin22cos(3)[sin(3)]αααααtancossin2(cos)sinαααααtancoscos(cos)sinαααααtancossinαααsincosααcossinαα教材研读考点突破栏目索引方法技巧1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 0°到360°的角的三角函数 锐角三角函数也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了”.2.利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.教材研读考点突破栏目索引3-1若f(α)= (k∈Z),则f(2017)=.答案-1解析①当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),原式= = =-1;②当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),原式= = =-1.综上所述,当k∈Z时,f(α)=-1,故f(2017)=-1.sin[(1)]cos[(1)]sin()cos()kαkαkαkαsin(2)cos(2)sin()cosnαnαααsin()cos()sincosαααα