微积分3.4.3相关变化率 2

国贸1202班微积分学习资料第1页共4页有问题记得找学委哦，亲！3.4.3相关变化率若两个变量之间有某种关系，并且两个变量又是另外一个变量t的函数。0),(yxF，并且)()({txxtyy。若已知变化率dtxd，去推倒另外一个变量的变化率dtdy，我们称之为相关变化率问题。解决相关变化率问题的步骤：1、利用几何或者物理等方面条件建立两个变量间的函数关系；2、等式的两边对时间t求微商；3、将已知的指定时刻t的相关值代入等式；4、由给定的条件求出相关变化率。例1：一气球从离开观察员500米处离地面垂直上升，其速率为140米/秒。当气球高度为500米时，观察员视线仰角的增加率是多少？解：设气球上升t秒后，高度为x，观察员仰角为。根据题意，则有：tan500x（步骤1）。在等式的两边对时间求微商，则有dtddtx2secd5001。（步骤2）将已知的条件：140dxdt，045代入等式。(步骤3）求得dtd=507。（步骤4）故，观察员视线仰角的增加率为7/50(弧度/秒）。对应习题：一长为5米的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求：（1）梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速度；（2）梯子与墙的夹角为3时，该夹角的增加率。AOBO，微积分STYLE孩子，简单吧。微积分就这样，好好学吧，加油哦！国贸1202班微积分学习资料第2页共4页有问题记得找学委哦，亲！例2：河水以秒米/83的体流量流入水库中，水库的形状是长为4000米，顶角为0120的水槽，问水深为20米时，水面每个小时上升几米？解：设水面高为h,水库内的水的体积为V，时间为t。由体积公式得234000hV，由题意得到tV28800t36008即234000t28800h，同时对方程两边求微商，得到dtdhh3800028800，将h=20代入其中，得到hmdtdh/104.0对应习题：注入水深8米，上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率是多少？小结习题1.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶，乙船在甲船的北面16公里，以8公里/小时的速率向南行驶，问下午一点整两船距离的变化速率是多少？2.一块石头投入水中使平静的湖面产生波纹。若最外圈的波纹向外传播的速度是60厘米/秒，求5秒时波纹围成的面积的增加率。亲，注意前后时间单位哦！国贸1202班微积分学习资料第3页共4页有问题记得找学委哦，亲！习题参考答案例1对应习题解：设梯子的上下端距离墙角为x,y.（1）由题意得到2225yx，同时对方程两边求微商，得到022dtdyydtdxx。由题意可得x=4,y=3,dtdy=0.5代入其中，得到dtdx=3/8故，梯子上端向下滑落的速度为3/8米每秒。（2）设梯子上端与墙壁的夹角为，根据题意有：sin5y。同时对方程两边求微商，得到dtddtdycos51。由已知得到5.0dydt，3，代入其中，得到51dtd（弧度/秒）。例2对应习题解：设时间为t,水面高度为h，容器内的水的体积为V。由题意得到hhV2)231（,而且V=4t.则有thh4)2(312。对方程两边同时求微商，得到442dtdhh。由已知得到h=5,代入其中，得到dtdh=2516。故，当水深5米时，其表面的上升速率是2516米/分钟。小结习题1.解：如图所示，设甲，乙离路口距离为x、y，甲乙之间的距离为h。由题意得到22yxh。对方程的两边同时求微商，得到22222yxdtdyydtdxxdtdh。由题意得到6,8,6dtdxyx，代入得到dtdh=-2.8km/h.故，下午一点整时两车的距离的变化率是-2.8km/h.2.解：设时间为t，波纹围成的面积为S。根据题意，有tr60,2rS，得到：2)60(tS。对方程的两边同时求微商，得到：tdtds23600。国贸1202班微积分学习资料第4页共4页有问题记得找学委哦，亲！当5t，dtds=36000.故，5秒时，波纹围成的面积的变化率是36000scm/2。