2.2.2-反证法-课件

第二章推理与证明2.2.2反证法栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明学习导航栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明新知初探思维启动1.反证法假设原命题_______(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明_______错误,从而证明了_________成立,这种证明方法叫做反证法.想一想1.用反证法证明命题“若p,则q”时,为什么证出﹁q假,就说明“若p,则q”就真？提示:“若p,则﹁q”是“若p,则q”的否定,二者一真一假,所以“若p,则﹁q”为假从而说明“若p,则q”为真.不成立假设原命题栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明2.“反证法”与“证逆否命题”有什么主要区别？提示:(1)两种证法的逻辑原理不同.“反证法”的原理是命题与命题的否定一真一假,“证逆否命题”的原理是命题与其逆否命题的等价性(即同真假).(2)两种证明的推理形式不同,证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发,推出条件的反面成立.而反证法一般是假设结论的反面成立,然后通过推理导出矛盾.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明2.反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件、公理、定义、定理及明显成立的事实或自相矛盾等.想一想3.用反证法证明命题“如果a＞b,那么3a＞3b”时,假设的内容是什么？提示:对3a＞3b的否定是3a不大于3b即3a≤3b,故假设的内容应是3a≤3b.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明典题例证技法归纳题型一用反证法证明否(肯)定式命题例1题型探究设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn＝an＋bn,证明:数列{cn}不是等比数列.【证明】假设{cn}是等比数列,则当n≥2时,(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1).∴a2n＋2anbn＋b2n＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1.设{an},{bn}的公比分别为p,q(p≠q).栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明∵a2n＝an－1·an＋1,b2n＝bn－1·bn＋1,∴2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝anp·bn·q＋bnq·an·p,∴2＝qp＋pq,∴当p≠q时,qp＋pq＞2或qp＋pq≤－2与qp＋pq＝2矛盾,∴{cn}不是等比数列.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明【名师点评】(1)当结论为否定形式的命题时,通过反设,转化为肯定性命题.可作为条件应用进行推理,因此对此类问题用反证法很方便.(2)用反证法证明问题的一般步骤:①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明1.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:a,b,c不成等差数列.证明:假设a,b,c成等差数列,则a＋c＝2b,即a＋c＋2ac＝4b,而b2＝ac,即b＝ac,∴a＋c＋2ac＝4ac,∴(a－c)2＝0.即a＝c,从而a＝b＝c,与a,b,c不成等差数列矛盾,故a,b,c不成等差数列.跟踪训练栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明例2若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断开,且f(a)＜0,f(b)＞0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【证明】由于f(x)在[a,b]上的图象连续不断开,且f(a)＜0,f(b)＞0,即f(a)·f(b)＜0,所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)＝0,假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)＝0,则n≠m.题型二用反证法证明唯一性命题栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明若n＞m,则f(n)＞f(m),即0＞0,矛盾;若n＜m,则f(n)＜f(m),即0＜0,矛盾.因此假设不正确,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【名师点评】证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.本例用直接证法中的综合法证明了存在性,反证法证明了唯一性.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明跟踪训练2.(1)证明:方程2x＝3有且只有一个根.(2)证明:两条相交直线有且只有一个交点.证明:(1)∵2x＝3,∴x＝log23.这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.假设方程2x＝3有两个根b1,b2(b1≠b2),则2b1＝3,2b2＝3.两式相除,得2b1－b2＝1.如果b1－b2＞0,则2b1－b2＞1,这与2b1－b2＝1相矛盾;如果b1－b2＜0,2b1－b2＜1,这也与2b1－b2＝1相矛盾.所以方程2x＝3有且只有一个根.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明(2)假设结论不成立,即有两种可能:无交点;不只有一个交点.①若直线a,b无交点,那么a∥b或a,b是异面直线,与已知矛盾;②若直线a,b不只有一个交点,则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.综上,所以结论成立,即两条相交直线有且只有一个交点.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明例3题型三用反证法证明(或解答)“至多”或“至少”类命题(2013·临沂高二检测)已知a、b、c∈(0,1),求证:(1－a)b,(1－b)c,(1－c)a中至少有一个不大于14.【证明】假设三式同时大于14,即(1－a)b＞14,(1－b)c＞14,(1－c)a＞14,三式相乘,得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c＞164.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明又(1－a)a≤(1－a＋a2)2＝14.同理(1－b)b≤14,(1－c)c≤14.以上三式相乘得(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤164,这与(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞164矛盾,故结论得证.【名师点评】(1)要想得到原命题的反面,必须先弄清原命题的含义,即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大).栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明(2)“至多”、“至少”、“都”等词语的否定形式“至多”、“至少”、“都”等词语否定形式至多有n个(即x≤n,n∈N*)至少有n＋1个(即xn⇔x≥n＋1,n∈N*)至少有n个(即x≥n,n∈N*)至多有n－1个(即xn⇔x≤n－1,n∈N*)n个都是n个不都是(即至少有1个不是)任意某个所有的某些特例至多有1个至少有2个至少有1个至多有0个,即一个也没有栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明跟踪训练3.(2013·杭州高二检测)用反证法证明:关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0,x2＋(a－1)x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0,当a≤－32或a≥－1时,至少有一个方程有实数根.证明:假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零得Δ1＝4a2＋44a－3＜0，Δ2＝a－12－4a2＜0，Δ3＝2a2－4×－2a＜0，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明则－32＜a＜12，a＞13或a＜－1，解得－32＜a＜－1，－2＜a＜0，与a≤－32或a≥－1矛盾,故原命题成立.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明用反证法证题时要把握三点:(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.(3)推导出来的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与定理、公理相违背等,但推导出的矛盾必须是明显的.方法感悟栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明精彩推荐典例展示反证法在数列中的应用名师解题例4等差数列{an}的前n项和为Sn,a1＝1＋2,S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn＝Snn(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明【解】(1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2,故an＝2n－1＋2,Sn＝n(n＋2).(2)证明:由(1)得bn＝Snn＝n＋2假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列,则b2q＝bpbr,即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2),∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p、q、r∈N*,∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明∴(p＋r2)2＝pr,(p－r)2＝0,∴p＝r.这与p≠r矛盾.∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.信息提炼层层剖析用待定系数法求出公差,然后求an和Sn.写出{bn}的通项公式是证明(2)的基础.正确假设(否定原命题结论)是反证法的关键.推出矛盾,得出结论.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明4.已知数列{an}和{bn}满足:a1＝λ,an＋1＝23an＋n－4,其中λ为实数,n为正整数.对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列.证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22＝a1a3,即(23λ－3)2＝λ(49λ－4)⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0,矛盾.所以对任意实数λ,{an}不是等比数列.跟踪训练栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明知能演练轻松闯关栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章推理与证明九九电影网九九电影网