2008考研数学(一)试题及详细答案解析

中国教育在线（）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）设函数20()ln(2)xfxtdt，则()fx的零点个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3．【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)fxxxxx．显然()fx在区间(,)上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0ff，由零点定理，知()fx至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xfxxx，恒大于零，所以()fx在(,)上是单调递增的．又因为(0)0f，根据其单调性可知，()fx至多有一个零点．故()fx有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctanxfxyy在点(0,1)处的梯度等于【】(A)i(B)i.(C)j.(D)j.【答案】应选(A).【详解】因为222211fyyxxxyy．222221xfxyxyxyy．所以(0,1)1fx，(0,1)0fy，于是(0,1)(,)igradfxy.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,,CCC为任意的常数）为通解的是【】(A)440yyyy.(B)440yyyy.(C)440yyyy.(D)440yyyy.【答案】应选(D).中国教育在线（）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道【详解】由123cos2sin2xyCeCxCx，可知其特征根为11，2,32i，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)ii32443244所以所求微分方程为440yyyy．应选(D).（4）设函数()fx在(,)内单调有界，{}nx为数列，下列命题正确的是【】．(A)若{}nx收敛，则{()}nfx收敛(B)若{}nx单调，则{()}nfx收敛(C)若{()}nfx收敛，则{}nx收敛.(D)若{()}nfx单调，则{}nx收敛.【答案】应选(B).【详解】若{}nx单调，则由函数()fx在(,)内单调有界知，若{()}nfx单调有界，因此若{()}nfx收敛．故应选(B).（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若30A，则【】则下列结论正确的是：(A)EA不可逆，则EA不可逆.(B)EA不可逆，则EA可逆.(C)EA可逆，则EA可逆.(D)EA可逆，则EA不可逆.【答案】应选(C).【详解】故应选(C).23()()EAEAAEAE，23()()EAEAAEAE．故EA，EA均可逆．故应选(C).（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程1xxyzAyz在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.中国教育在线（）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道【答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221xyzac．故A的正特征值个数为1．故应选(B).（7）设随机变量,XY独立同分布且X的分布函数为()Fx，则max{,}ZXY的分布函数为【】(A)2()Fx.(B)()()FxFy.(C)21[1()]Fx.(D)[1()][1()]FxFy.【答案】应选(A)．【详解】()max{,}FzPZzPXYz2()()()PXzPYzFzFzFz．故应选(A)．（8）设随机变量XN(0,1),(1,4)YN,且相关系数1XY，则【】(A){21}1PYX(B){21}1PYX(C){21}1PYX(D){21}1PYX【答案】应选(D)．【详解】用排除法．设YaXb．由1XY，知X，Y正相关，得0a．排除（A）和（C）．由(0,1)XN，(1,4)YN，得0,1,()EXEYEaXbaEXb．10ab，1b．从而排除(B).故应选(D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)（9）微分方程0xyy满足条件(1)1y的解是y.【答案】应填1yx．【详解】由dyydxx，得dydxyx．两边积分，得ln||ln||yxC．中国教育在线（）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道代入条件(1)1y，得0C．所以1yx．（10）曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)的切线方程为.【答案】应填1yx．【详解】设(,)sin()ln()Fxyxyyxx，则1(,)cos()1xFxyyxyyx，1(,)cos()xFxyxxyyx，(0,1)1xF，(0,1)1yF．于是斜率(0,1)1(0,1)xyFkF．故所求得切线方程为1yx．（11）已知幂级数0(2)nnnax在0x处收敛，在4x处发散，则幂级数0(2)nnnax的收敛域为.【答案】(1,5]．【详解】由题意，知0(2)nnnax的收敛域为(4,0]，则0nnnax的收敛域为(2,2]．所以0(2)nnnax的收敛域为(1,5]．(12)设曲面是224zxy的上侧，则2xydydzxdzdxxdxdy.【答案】4．【详解】作辅助面1:0z取下侧．则由高斯公式，有2xydydzxdzdxxdxdy122xydydzxdzdxxdxdyxydydzxdzdxxdxdy2224xyydVxdxdy．中国教育在线（）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道()2xyxydxdydrrdr22200116424．(13)设A为2阶矩阵，12,为线性无关的2维列向量，10A，2122A．则A的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01AAA．记12(,)P，因12,线性无关，故12(,)P是可逆矩阵．因此0201APP，从而10201PAP．记0201B，则A与B相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01EB，0，1．故A的非零特征值为1．(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则2PXEX____________．【答案】应填12e.【详解】因为X服从参数为1的泊松分布，所以1EXDX．从而由22()DXEXEX得22EX．故22PXEXPX12e．三、解答题：(15－23小题，共94分.)(15)(本题满分10分)求极限40sinsin(sin)sinlimxxxxx【详解1】40sinsin(sin)sinlimxxxxx30sinsin(sin)limxxxx＝20coscos(sin)coslim3xxxxx201cos(sin)lim3xxx0sin(sin)coslim6xxxx(或2201(sin)2lim3xxx，或22201sin(sin)2lim3xxoxx)中国教育在线（）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道．【详解2】40sinsin(sin)sinlimxxxxx40sinsin(sin)sinlimsinxxxxx＝30sinlimtttt201coslim3ttt2202lim3ttt（或0sinlim6ttt）16．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin22(1)Lxdxxydy，其中L是曲线sinyx上从(0,0)到(,0)的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin22(1)Lxdxxydy20[sin22(1)sincos]xdxxxxdx20sin2xxdx200cos2cos22xxxxdx20cos22xxdx200sin2sin2222xxxdx22．【详解2】添加辅助线，按照Green公式进行计算．设1L为x轴上从点(,0)到(0,0)的直线段．D是1L与L围成的区域12sin22(1)LLxdxxydy2(2(1)sin2Dxyxdxdyxy4Dxydxdysin004xxydydx202sinxxdx0(1cos2)xxdx中国教育在线（）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道200sin2sin2222xxxdx22．因为102sin22(1)sin20Lxdxxydyxdx故2sin22(1)Lxdxxydy22【详解3】令2sin22(1)LIxdxxydy212sin222LxdxydyxydyII对于1I，记sin2,2PxQy．因为0PPyx，故1I与积分路径无关．10sin20Ixdx．对于2I，22220022sincossin2LIxydyxxxdxxxdx200cos2cos22xxxxdx20cos22xxdx200sin2sin2222xxxdx22．故2sin22(1)Lxdxxydy2217（本题满分11分）已知曲线22220,:35,xyzCxyz求C上距离xoy面最远的点和最近的点．【详解1】点(,,)xyz到xoy面的距离为||z，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的中国教育在线（）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道在条件22220,xyz35xyz下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)Lxyzzxyzxyz，由222220,20,220,43.,350xyzLxLyLzzxyzxyz得xy，从而22220,235.xzxz解得5,5,5.xyz或1.1,1,zxy根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)和(1,1,1)．【详解2】点(,,)xyz到xoy面的距离为||z，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22Hxy在条件2225203xyxy下的最大值点和最小值点．