中考数学B卷专题1_代数问题(含应用题)

1/292012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编专题1：代数问题一、选择题2.（2012浙江杭州3分）已知关于x，y的方程组xy=4axy=3a+3，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①x=5y=1是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是【】A．①②B．②③C．②③④D．①③④【答案】C。【考点】二元一次方程组的解，解一元一次不等式组。【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断：解方程组xy=4axy=3a+3，得x=12ay=1a。∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4。①x=5y=1不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确；④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确。，故选C。3.（2012江苏常州2分）已知a、b、c、d都是正实数，且acbd，给出下列四个不等式：①aca+bc+d；②cac+da+b；③dbc+da+b；④bda+bc+d。其中不等式正确的是【】2/29A.①③B.①④C.②④D.②③【答案】A。【考点】不等式的性质。【分析】根据不等式的性质，计算后作出判断：∵a、b、c、d都是正实数，且acbd，∴ac+1+1bd，即a+bc+dbd。∴bda+bc+d，即dbc+da+b，∴③正确，④不正确。∵a、b、c、d都是正实数，且acbd，∴bdac。∴bd+1+1ac，即a+bc+dac。∴aca+bc+d。∴①正确，②不正确。∴不等式正确的是①③。故选A。6.（2012云南省3分）若2214ab，12ab，则ab的值为【】A.12.B.12.C.1.D.2.【答案】B。【考点】代数式求值。【分析】22111()()()242ababababab代入已知。故选B。7.（2012新疆区5分）甲乙两班进行植树活动，根据提供信息可知：①甲班共植树90棵，乙班共植树129棵；②乙班的人数比甲班的人数多3人；③甲班每人植树数是乙班每人植树数的34．若设甲班人数为x人，求两班人数分别是多少，正确的方程是【】A．903129=x4x+3B．903129=x34xC．390129=4x3xD．390129=4xx+3【答案】A。【考点】由实际问题抽象出分式方程。【分析】因为甲班人数为x人，则乙班为x+3人，∴甲班每人植树90x棵，乙班每人植树129x+3棵。∴根据“甲班每人植树数是乙班每人植树数的34”得，903129=x4x+3。故选A。8.（2012吉林省2分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为【】3/29A．600450xx50B．600450xx50C．600450x50xD．600450x50x【答案】C。【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。【分析】因为原计划每天生产x台机器，现在平均每天比原计划多生产50台，所以，现在生产600台机器所需时间是600x50天，原计划生产450台机器所需时间是450x天，由“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”得方程600450x50x。故选C。.★★9.（2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程2xmx+5m5=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【】A.2B.6C.2或6D.7【答案】B。【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。【分析】∵方程2xmx+5m5=0有两个正实数根，∴1212x+x=m0m5xx=5m50。又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m。将x1=7－m代入方程2xmx+5m5=0，得27mm7m+5m5=0。解得m=2或m=6。∵m5，∴m=6。故选B。二、填空题★★★1.（2012江苏盐城3分）一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n的值为▲.(参考数据:51.22.5,61.23.0,71.23.6)【答案】13。【考点】同底数幂的乘法【分析】第一个月募集到资金1万元，则由题意第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资金（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得：4/29（1+20%）n－1＞10，即1.2n－1＞10.∵1.25×1.26≈7.5＜10，1.25×1.27≈10.8＞10，∴n－1=5+7=12，解得，n=13。2.（2012福建南平3分）设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是▲．（填写所有正确结论的序号）①[0）=0；②[x）－x的最小值是0；③[x）－x的最大值是0；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立．【答案】④。【考点】新定义，实数的运算。【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案：①[0）=1，故结论错误；②[x）－x＞0，但是取不到0，故结论错误；③[x）－x≤1，即最大值为1，故结论错误；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立，例如x=0.5时，故结论正确。故答案为④。3.（2012湖北随州4分）设242a2a10b2b10，，且1－ab2≠0，则522ab+b3a+1a=▲.【答案】32。【考点】解一元二次方程，求代数式的值。【分析】解2a2a10得24+4222a===1222，解42b2b10得224+4222b===1222。∵2b0，∴2b=1+2。又∵1－ab2≠0，∴a1+2。∴a=12。∴2b=a。∴55552225ab+b3a+1aa3a+12a1a3a+12a====2=32aaaa。4.（2012湖南常德3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[32]=0，[3.14]=3。按此规定[110]的值为▲。5/29【答案】4。【考点】新定义，估计无理数的大小。【分析】∵9＜10＜16，∴3104410+15，。∴10+1=4。5.（2012四川绵阳4分）如果关于x的不等式组：3x-a02x-b0，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有▲个。【答案】6。【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】3x-a02x-b0①②，由①得：ax3；由②得：bx2。∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：abx32。∵不等式组整数解仅有1，2，如图所示：，∴0＜a3≤1，2≤b2＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6。∴a=1，2，3，b=4，5。∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有3×2=6个。6.（2012四川巴中3分）若关于x的方程2xm2x22x有增根，则m的值是▲【答案】0。【考点】分式方程的增根。【分析】方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）。∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2。∴2－2－m=2（2－2），解得m=0。7.（2012山东淄博4分）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数▲.6/29【答案】101。【考点】列方程，代数式变形，非负数的性质。【分析】设三位数各位上的数字为x，y，z，则根据题意，得222x+y+z=2xy，即22xy+z=0。∴根据非负数的性质，得x=y且z=0。∴符合上述条件的三位数可以是101，110，202，220，……。三、解答题1.（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴1212bcxx=pxx=qaa，。（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。∵d=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。∴当p=2时，d2的最小值是4。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。2.（2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？7/29②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。【答案】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。则（40－2x）2=484，解得1x31（不合题意，舍去），29x。∴剪掉的正方形的边长为9cm。②侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：22y4(402x)x8x160x8(x10)800，∴x=10时，y最大=800。即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。则2(402)(20)2(20)2(402)550xxxxxx，解得：135x（不合题意，舍去），215x。∴剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。【分析】（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40－2x）2=484，求出即可②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可。（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成