中考数学一模压轴题0002

大力数学工作室|李老师1中考压轴题（编号0002–2017上海黄浦区一模第25题）如图1，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP//AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）.（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；（3）设DC=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.图1备用图题⑴当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；【解】过C点向AB作垂线CF，与AB相交于F。∵CF=AD=4∴BF===2∴CD=AF=AB–BF=5–2=3∴S梯形ABCD=AD•(AB+CD)=×4×(5+3)=16题⑵当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；【解】①移动C点，使CE⊥BC，得△ABE≌△CBE（aas）∴BC=AB=5过B点向DP作垂线BG，与DP相交于G在矩形ABGD中，DG=AB=5，BG=AD=4在Rt△BGC中，根据勾股定理：CG2=BC2–BG2=52–42=9∴CG=3∴CD=DG–CG=5–3=2【注意：辅助线也可以是过C点向AB作垂线……】大力数学工作室|李老师2②移动C点，使CE⊥BC，延长CE、BA相交于F。在Rt△BEF和Rt△BEC中，已知∠FBE=∠CBE，BE边公用∴Rt△BEF≌Rt△BEC（aas），FE=CE又在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵∠FEA=∠CED（对顶角），∴Rt△AEF≌Rt△DECAE=DE===2∵Rt△AEF∽Rt△BEF∴AE2=AB•AF22=5AF∴CD=AF=综上所述，CD的值为2或【注意：向上作辅助线，也是可以的。证明略】题⑶设DC=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.【解】过点E向BC作垂线交BC于H，过B向DP作垂线交DP于G在Rt△ABE和Rt△HBE中，已知∠ABE=∠HBE，BE公用，∴Rt△ABE≌Rt△HBE∴AE=HE=4–y在Rt△ABE中：BE2=52+(4–y)2在Rt△EHC中：CE2=x2+y2在Rt△BGC中：BC2=42+(5–x)2考虑Rt△CEH：CE2–HE2=CH2又CH=|BC–BH|=|BC–5|x2+y2–(4–y)2=(–5)2化简后，得：（0≤x）大力数学工作室|李老师3讨论定义域：①C点在最左边，与D点重合：x=0示意草图如下：②当C点往右移动，受E点只能在AD上的限制，考虑极端情况将DE=y=0代入解析式，有41–5x=5两边平方，化简后得x=又∵根据已知：E点不与端点A、D重合，∴x示意草图如下：【点评：定义域的求解是本题容易被忽视的地方。】