2014届高三数学一轮复习专讲：3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章三角函数、解三角形1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、和．(2)从终边位置来看，可分为和轴线角．(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝(或{β|β＝})．负角零角象限角α＋k×360°，k∈Z}α＋2kπ，k∈Z2．象限角象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角α2kπα2kπ＋π2，k∈Zα2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Zα|2kπ＋πα2kπ＋32π，k∈Zα2kπ－π2α2kπ，k∈Z3．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：在单位圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号表示．rad(2)角α的弧度数：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.lr(3)角度与弧度的换算：①1°＝rad；②1rad＝°.π180180π(4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2.r|α|4．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，那么定义叫做α的正弦函数，记作sinα叫做α的余弦函数，记作cosα叫做α的正切函数，记作tanαvuvu三角函数正弦余弦正切各象限符号ⅠⅡⅢⅣ口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦终边相同的角的三角函数值(k∈Z)sin(α＋k·2π)＝cos(α＋k·2π)＝tan(α＋k·2π)＝正正正正正正负负负负负负sinαcosαtanα三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT三角函数正弦余弦正切[小题能否全取]1．在0°～360°范围内与－870°终边相同的角是()A．－150°B．150°C．210°D．－210°解析：－870°＝－3×360°＋210°.答案：C2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是()A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4解析：∵sinα＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，答案：B∴α＝116π.3．若sinα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由sinα0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tanα0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．答案：C4．若点P在2π3角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于________．解析：因tan2π3＝－3＝－y，∴y＝3.答案：35．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析：弧长l＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l＝α·r得r＝lα＝3π34π＝4，面积S＝12lr＝6π.答案：46π1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.[例1]已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M＝xx＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4×180°＋45°，k∈Z，判断两集合的关系．[自主解答](1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．1．(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案：C(2)若α是第一象限角，则α3是第________象限角：答案：一或二或三解析：由α是第一象限角，得k·360°α90°＋k·360°，(k∈Z)∴k3·360°α330°＋k3·360°.当k＝3n时，n·360°α330°＋n·360°是第一象限角；当k＝3n＋1时，n·360°＋120°α3n·360°＋150°是第二象限角；当k＝3n＋2时，n·360°＋240°α3n·360°＋270°是第三象限角．[例2](1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t0)，则tanα的最小值为()A．1B．2C.12D.2(2)(2013·大庆模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6[自主解答](1)根据已知条件得tanα＝t2＋1t＝t＋1t≥2，当且仅当t＝1时，tanα取得最小值2.[答案](1)B(2)D(2)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin2π3＝32，故α＝2kπ－π6(k∈Z)，所以α的最小正值为11π6.定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．2．(1)(2013·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点Px，32，则tanα＝()A.3B．±3C.33D．±33(2)(2012·海宁质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.114C．－4D．4解析：(1)由|OP|2＝x2＋34＝1，得x＝±12，tanα＝±3.答案：（1）B（2）C(2)由题意可知，cosα＝mm2＋9＝－45，又m0，解得m＝－4.[例3](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？[自主解答](1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝1012θ·r2＝4⇒r＝1，θ＝8(舍)，r＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，Smax＝100.所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R，则圆内接正方形的对角线长为2R，∴正方形边长为2R，∴圆心角的弧度数是2RR＝2.答案：21．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2．记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．3．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：(1)如图所示，过O作OC⊥AB于点C，则AC＝5，在Rt△ACO中，sin∠AOC＝ACAO＝510＝12，∴∠AOC＝30°，∴α＝2∠AOC＝60°.(2)∵60°＝π3，∴l＝|α|r＝10π3.S扇＝12lr＝12×10π3×10＝50π3.又S△AOB＝12×10×10sinπ3＝253，∴S弓形＝S扇－S△AOB＝50π3－253＝50π3－32.[典例]2011·江西高考已知角θ的顶点为坐,标原点，始边为x轴的正半轴.若P4，y是角θ终边上,一点，且sinθ＝－255，则y＝.[尝试解题]r＝x2＋y2＝16＋y2，且sinθ＝－255，所以sinθ＝yr＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.[答案]－81.误认为点P在单位圆上，而直接利用三角函数定义，从而得出错误结果.2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B．－32C.12D.32针对训练解析：由点P(－8m，－6sin30°)在角α的终边上且cosα＝－45，知角α的终边在第三象限，则m0，又cosα＝－8m－8m2＋9＝－45，所以m＝12.答案：C1．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是()教师备选题（给有能力的学生加餐）A.π2，3π4∪π，5π4B.π4，π2∪π，5π4C.π2，3π4∪5π4，3π2D.π4，π2∪3π4，π解题训练要高效见“课时跟踪检测（十八）”解析：由已知sinα－cosα0，tanα0故π4，π2∪π，5π4.答案：B2．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧PA长为2，∠ABP＝21＝2.设P(x，y)，则x＝2－1×cos2－π2＝2－sin2，y＝1＋1×sin2－π2＝1－cos2，∴OP的坐标为(2－sin2,1－cos2)．答案：(2－sin2,1－cos2)3．(1)确定tan－3cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(0m1)，试判断式子sinα－cosα的符号．解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，∴tan(－3)0，tan50，cos80，∴原式大于0.(2)若0απ2，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，∴sinα＋cosα＝MP＋OMOP＝1.若α＝π2，则sinα＋cosα＝1.由已知0m1，故α∈π2，π.于是有sinα－cosα0.