高一《对数与对数函数》讲义【解析版】

第1页共11页对数与对数函数【高考要求】1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．【知识梳理】1.对数的概念(1)对数的定义如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作___x＝logaN___，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数.真数N为正数（负数和零无对数）．说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数xay的另一种表达形式，例如：8134与81log43这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.logNxNaax②“log”同“+”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。③对数的底数和真数从对数的实质看：如果ab＝N(a0且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，即b＝logaN.它是知道底数和幂求指数的过程.底数a从定义中已知其大于0且不等于1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)logaN常用对数底数为__10____lg_N自然对数底数为__e__ln_N2．对数的性质与运算法则（1）．对数基本性质：log10a，log1aa，logaNaN---对数恒等式（2）．对数运算性质：若0,1,0,0aaMN且，则：①log()loglogaaaMNMN②logloglogaaaMMNN③loglog()naaMnMnR（3）．换底公式：loglog(0,1;0,1;0)logcacbbaaccba推论：①loglog(,,0)mnaanMMmnRmm②1loglogabba点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。（2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。例如：真数为两负数的积，).5(log).3(log22不能写成).5(log).3(log22=).5(log)3(log22第2页共11页3.对数函数的图象与性质①对数函数定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，说明：（1）一个函数为对数函数的条件是：①系数为1；①底数为大于0且不等于1的正常数；②变量为真数.③在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}.④对数型函数的定义域：特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴）；3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。a10a1图象性质(1)定义域：__(0，＋∞)______(2)值域：__R____(3)过点___(1,0)_______，即x＝1______时，y＝_0_____(4)当x1时，_y0_______当0x1时，__y0______(5)当x1时，__y0______当0x1时，__y0______(6)在(0，＋∞)上是___增__(7)在(0，＋∞)上是_减____4.反函数反函数及其性质①互为反函数的两个函数的图象关于直线xy对称。②若函数)(xfy上有一点),(ba，则),(ab必在其反函数图象上，反之若),(ab在反函数图象上，则),(ba必在原函数图象上。由对数的定义容易知道:指数函数y＝ax与对数函数___.y＝logax_______互为反函数，它们的图象关于直线___y＝x_____对称.由指数函数)1,0(aaayx的定义域Rx，值域0y，容易得到对数函数)1,0(logaaxya的定义域为0x，值域为R，变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.奇偶性非奇非偶第3页共11页【考点突破】考点一对数形式与指数形式的互化【例1-1】下列指数式改写成对数式；①1624②27133③205a④45.021b【例1-2】下列对数式改写成指数式；①3125log5②23log31③699.1lga【例1-3】求下列各式的.x①32log8x；②4327logx；③0)(loglog52x；④.1)(lglog3x【解析】①由32log8x，得32332)2(8x，即41x；②由4327logx，得2743x，即3433x，故813)3(4343x；③由0)(loglog52x，得.12log05x故551x；④由1)(lglog3x，得.3lgx故.1000103x【点评】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。考点二对数式的化简求值与运算性质【例2-1】计算下列各式.①22log2②lg100lne③lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；④(log32＋log92)·(log43＋log83).【解析】①222211loglog2log21222②122115lg100lnlg10ln2lg10ln2222eee③原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.④原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.【例2-2】已知,518,9log18ba求.45log36解法一：∵518,9log18ba，∴.5log18b第4页共11页∴.2918log12log15log9log)218(log)59(log36log45log45log181818181818181836ababa解法二：∵,518,9log18ba∴.18lg5lg,18lg9lgba∴.218lg18lg218lg18lg9lg18lg25lg9lg918lg)59lg(36lg45lg45log236abaaba【例2-3】设3643yx，求yx12的值.【解析】（1）∵,364,363yx∴,36log,36log43yx∴3log3log36log136log113636363x，,4log4log36log136log113636364y∴4log3log2123636yx.1)49(log36【探究提高】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.【练习】(1)计算：log2.56.25＋lg1001＋lne＋3log122=．213（2）求值：3log333558log932log2log2【解析】原式32log3)9log32(log2log233333332log25log223log231②22lg25lg8lg5lg20(lg2)3；原式=2102lg52lg2lglg(210)lg22=2lg)12)(lg2lg1()25lg(22=3(3)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值为()A.10B．10C．20D．100【答案】A考点三对数的概念及应用【例3-1】对数函数的判断随写【例3-2】若函数2(21)log(54)ayxaa是对数函数，则a的值为______.【例3-3】若函数22log[(1))4ayaxax的定义域为R，则实数a的取值范围是_____________.【练习】（1）对数函数的图象过点（16，2），则函数的解析式为_________（2）函数y＝log23（2x－1）的定义域是()A．[1，2]B．[1，2)C．1[,1]2D．1(,1]2第5页共11页【解析】由23log(21)0x⇒02x－1≤1⇒12x≤1.【答案】D考点四对数函数的图象及应用【例4-1】函数log(1)2ayx(0,1)aa的图象恒过点________【例4-2】已知0ab1c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是__mn____【解析】∵m0，n0，∵mn＝logac·logcb＝logablogaa＝1，∴mn.【规律方法】用对数函数的图象与性质比较大小（1）同底数的两个对数值的大小比较【注意底数范围】（2）同真数的对数值大小关系（3）同对数值比较真数大小（4）利用中间量(0或1)（5）作差或作商法，结合换底公式及对数运算性质.【练习】（1）已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则a＝______，b＝____.(2）若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是()A.1(,)baB.(10,1)abC.10(,1)baD.2(,2)ab（3）比较大小：log1.10.7与log1.20.7.【解析】作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.【答案】（1）a＝2，b＝2.（2）D（3）考点五对数函数的值域与最值随写考点六对数函数的性质及应用角度一对数型函数的奇偶性【例6-1】若函数22()log(2)afxxxa是奇函数，则a【解析】由于22()log(2)afxxxa是奇函数，∴()()0fxfx，即2222log(2)log(2)0aaxxaxxa，∴222log20212aaaa，又0a，∴22a角度二对数型函数的单调性第6页共11页【例6-2-1】22()log(65)fxxx的单调减区间为（）A．[3,)B．(0,3]C．(1,3]D．[3,5)【例6-2-2】已知y=loga(2－ax)在区间[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围．【解析】先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2又a是对数的底数，∴a＞0且a≠1，∴x＜a2由递减区间[0，1]应在定义域内可得a2＞1，∴a＜2，又2－ax在x∈[0，1]是减函数∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1∴1＜a＜2【规律方法】求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：①确定定义域；②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．角度三比较对数值的大小【例6-3-1】比较大小：log323与log565【解析】∵log323log31＝0，而log565log51＝0，∴log323log565.【例6-3-2】设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．abcB．acbC．bacD．bca【解析】a＝log3π1，b＝12log23