量子力学习题4

四.中心力场和正常塞曼效应1、氢原子处在基态,1),,(030arear求：（1）r的平均值；（2）势能reUs2的平均值；（3）最可几的半径；（4）动能222T的平均值；（5）动量的几率分布函数。2、证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量,0eerJJ2sinnlmeremJ。3、试证明处于1s,2p,3d态的氢原子的电子在离电子核的距离分别为a0、4a0、9a0的球壳内被发现的几率最大。4、试证明6L，zL的氢原子中的电子在o45和o135的方向上被发现的几率最大。5、求算符dxdieFixˆ的本征函数？6、对于一维运动，求算符xpFˆˆ的本征值和本征函数。7、下列函数哪些是22dxd的本征函数？（1）xe；（2）2x，（3）Sinx；（4）Cosx；（5）Cosx+SinX，（6）CosxSinx（7）iSinxCos；（8）iSinxCos。8、一维谐振子处在)12(2)(222122xexx的状态中，试证明：这个态是一维谐振子哈密顿算符的本征态，并求其相应的本征值。)(。9、体系处在33)(),,(ieSinrRr的状态中，试证明这个态是2ˆL和zLˆ的共同本征态，并求出相应的本征值。10、若算符k有属于本征值为的本征函数，且有BAkˆˆˆ和1ˆˆˆˆABBA，证明：和Auˆ1Buˆ2也是算符Kˆ的本征函数，对应的本征值分别为,1和1。11、一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是LILH,22为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下为定态能量及波函数。（1）平面刚性转子，即转子绕一固定的轴转动；（2）空间刚性转子，即转子绕一固定点转动。12、一约束在平面上沿一定半径绕z轴（垂直平面）转动的平面子，处于2ACos态中，试确定在此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几率，并求平均值。13、设0t时粒子的状态为]21[)(2CoskxkxSinAx，求此粒子的平均动量和平均动能。14、设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，若其状由波函数xaCosxaSinax24)(描述，求粒子能量的可能取值和相应的几率及平均值。15、在由两个相距为a的无限高势壁构成的一维箱中，有一质量为的粒子处在基态，现突然将这两个势壁对称地扩展到间距a的2倍，问：（1）在扩展后的系统中，粒子处于基态的几率是多少？（2）在扩展过程中，能量守恒吗？16、线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态：)()(21)(51)(5520xcxxx式中)(xn表示谐振子第n个定态波函数，求：（1）系数C5=？；（2）写出t时刻的波函数；（3）t=0时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值。（4）t=t时刻谐振子能量的可能取值及其相应的几率，并求其平均值。17、设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211121yrRyrRr求氢原子能量，角动量平方及角动量z分量的可能取值及其相应的几率，并求这些力学量的平均值。18、设体系处于),(),(),(102111ycycH态中，求：（1）力学量2L的本征值；（2）力学量zL的可能值和平均值；（3）力学量xL和yL的可能取值。19、求二维各向同性谐振子的能级，并讨论其简并情况。