概率论与数理统计期末总结

1第1章概率论的基本概念1.1随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。1.2样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。样本空间的子集称为随机事件，简称事件。在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。1.3事件的关系及运算（1）包含关系BA，即事件A发生，导致事件B发生；（2）相等关系BA，即BA且AB；（3）和事件（也叫并事件）BAC，即事件A与事件B至少有一个发生；（4）积事件（也叫交事件）BAABC，即事件A与事件B同时发生；（5）差事件ABABAC，即事件A发生，同时，事件B不发生；（6）互斥事件（也叫互不相容事件）A、B满足AB，即事件A与事件B不同时发生；（7）对立事件（也叫逆事件）AA，即AAAA,。21.4事件的运算律（1）交换律BAABABBA,；（2）结合律CABBCACBACBA,；（3）分配律CABABCAACABCBA,；（4）幂等律AAAAAA,；（5）差化积BAABABA；（6）反演律（也叫德·摩根律）BAABBABABABA,。1.5概率的公理化定义设E是随机试验，为样本空间，对于中的每一个事件A，赋予一个实数P（A），称之为A的概率，P（A）满足：（1）1)(0AP；（2）1)(P；（3）若事件，，，，nAAA21两两互不相容，则有)()()(2121nnAPAPAPAAAP。1.6概率的性质（1）0)(P；（2）若事件nAAA，，，21两两不互相容，则)()()(2121nnAPAPAPAAAP；（3）)(1)(APAP；（4）)()()(ABPBPABP。特别地，若BA，则)()(),()()(BPAPAPBPABP；（5）)()()()(ABPBPAPBAP。31.7古典概型古典概率设随机试验E满足：（1）E的样本空间只有有限个样本点；（2）每个样本点的发生是等可能的，则称此试验为古典概型或等可能概型。古典概率中所包含的样本点总数样本空间所包含的样本点数AAP)(。1.8事件的独立性伯努利概型若)()()(BPAPABP，则称事件A与事件B相互独立。若CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP)()()()()()()()()()(，则称事件A、B、C相互独立。若前三式成立，则称事件A、B、C两两相互独立。若事件A与事件B相互独立，则BABABA与，与，与也相互独立。设随机试验E满足：（1）在相同条件下可重复进行n次；（2）每次试验只有两个可能结果，A发生或A不发生，且每次A发生的概率相同；（3）每次试验是相互独立的，则称这种试验为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。n重伯努利试验中A发生k次的概率为)1;,,2,1,0()(qpnkqpCkPknkknn，其中pAP)(。1.9条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式（1）条件概率0)()()()(APAPABPABP，；（2）乘法公式0)()()()(APAPABPABP，；（3）全概率公式)()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP，其中4),,2,1(0)(niBPi，1B，2B，…，nB是的一个分割；（4）贝叶斯公式niiiiiiiBPBAPBPBAPAPABPABP1)()()()()()()(（ni,,2,1）第2章随机变量及其分布2.1随机变量分布函数随机变量X是样本点的实值函数，定义域为样本空间，值域为实数。分布函数为)()(xXPxF，其中x为任意实数。2.2分布函数的性质（1）1)(0xF，且0)(limxFx，1)(limxFx；（2）)(xF单调不减，即若21xx，则21xFxF；（3）)(xF右连续，即)()0(xFxF。2.3离散型随机变量离散型随机变量X的分布律为),3,2,1()(kpxXPkk。也可以用表格表示X1x2x…nx…)(kxXP1p2p…np…也可以用矩阵表示，即nnpppxxxX2121～分布律的性质（1）0kp（,3,2,1k）；（2）11kkp。52.4几种常见的离散型随机变量的分布（1）（0-1）分布（也叫两点分布）),1(pBX～的分布律为)1,0()1()(1kppkXPkk，其中10p为参数。（2）二项分布),(pnBX～的分布律为),,12,0()1()(nkppCkXPknkkn，其中10p为参数。（3）泊松分布)(PX～或)(～X的分布律为),12,0()(kekkXPk！，其中0为参数。2.5连续型随机变量连续型随机变量X的分布函数为xdttfxXPxF)()()(，其中0)(xf且)(xf可积，)(xf称为X的概率密度。)(xf的性质：（1）0)(xf；（2）1)(dxxf；（3）baaFbFdxxfbXaP)()()()(；（4）)(0)(为常数aaXP；（5）当)(xf在点x处连续时，)()(xFxf。2.6几种常见的连续型随机变量的分布（1）均匀分布),(baUX～X的概率密度其他，01)(bxaabxfX的分布函数bxbxaabaxaxxF,1,,0)(6（2）指数分布)(EX～X的概率密度0,00,)(xxexfx，其中0为常数。X的分布函数0,00,1)(xxexFx（3）正态分布),(2NX～X的概率密度22221)(xexf（x）其中，0为常数。X的分布函数dtexFxt22221)(（4）标准正态分布)1,0(NX～X的概率密度2221)(xex（）X的分布函数dtexxt2221)(若),(2NX～，则)1,0(NXY～，且有计算公式)()()()()(abaFbFbXaP。2.7随机变量的函数的分布（1）离散型随机变量的函数的分布已知X的分布律为),3,2,1()(kpxXPkk，)(XgY的分布律有以下两种情形：①当)(kkxgy的值互不相等时，则),2,1()()(kpxXPyYPkkk②当)(kkxgy的值有相等时，则应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概率相加，即得出)(XgY的分布律。7（2）连续型随机变量的函数的分布已知X的概率密度为)(xfX，且)(xgy有连续的导函数，求)(XgY的概率密度，通常使用以下两种方法：①分布函数法：先求Y的分布函数yxgXYdxxfyXgPyYPyF)()())(()()(，再对y求导数，可得Y的概率密度)()(yFyfYY。②公式法：如果)(xgy严格单调，其反函数)(yh有连续的导数，则)(XgY也是连续型随机变量，且其概率密度为其他,0,)()()(yyhyhfyfXY其中gg),(min，gg),(max（此时)(xf在x上不为0）；或bgag),(min，bgag),(max（此时)(xf在ba,之外全为0.）第3章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量联合分布函数设X、Y是两个随机变量，称有序数组YX,为二维随机变量。联合分布函数为),(),(yYxXPyxF，其中x，y为任意实数。3.2联合分布函数的性质（1）1),(0yxF，且0),(),(),(FxFyF，1),(f。（2）),(yxF对每一个变量单调不减，即对任意固定的y，当21xx时，),(),(21yxFyxF；对任意固定的x，当21yy时，),(),(21yxFyxF。（3）),(yxF关于x右连续，关于y也右连续。（4）对任意的Rxx21，Ryy21，有0),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF。83.3边缘分布函数关于X的边缘分布函数),(lim),()(yxFxFxFyX；关于Y的边缘分布函数),(lim),()(yxFyFyFxY。3.4二维离散型随机变量（1）二维离散型随机变量YX,的联合分布律为),3,2,1,(),(jipyYxXPijji（2）YX,关于X的边缘分布律为ijijjjiippyYxXPxXP11),()(（,2,1i）YX,关于Y的边缘分布律为jiijijijppyYxXPyYP11),()(（,2,1j）（3）联合分布律ijp应满足：①0ijp（,2,1,ji）；②111ijijp。3.5二维连续型随机变量（1）二维连续型随机变量YX,的联合分布函数为xydudvvufyxF),(),(，其中称0),(yxf为YX,的联合概率密度函数。（2）YX,关于X的边缘概率密度为dyyxfxFxfXX),()()(；YX,关于Y的边缘概率密度为dxyxfyFyfYY),()()(。（3）联合密度函数),(yxf的性质：①0),(yxf；②1),(dxdyyxf；9③DdxdyyxfDYXP),(,，其中D为XOY平面上的区域；④当),(yxf在点yx,处连续时，yxyxFyxf),(),(2。3.6二维随机变量的独立性随机变量X与Y相互独立)()(),(yFxFyxFYX。离散型随机变量X与Y相互独立jiijPPP（,2,1,ji）。连续型X与Y相互独立)()(),(yfxfyxfYX（在连续点处）。3.7二维随机变量的函数的分布二维离散型随机变量的函数的分布二维连续型随机变量的函数的分布设连续型随机变量YX,的联合密度函数),(yxf，),(YXgZ，Z是一维随机变量，Z的分布函数为zyxgZdxdyyxfzYXgPzZPzF),(),(),()()(，Z的密度函数为zyxgZZdxdyyxfdzdzFdzdzf),(),()()(。3.8常用的二维连续型随机变量的函数的分布（1）YXZ的分布dydxyxfdxdyyxfzYXPzZPzFyzzyxZ),(),()()()dyyyzfzFdzdzfZZ),()()(或dxxzxfzFdzdzfZZ)()()(，特别地，当X、Y相互独立时，dxxzfxfdyyfyzfzfYXYXZ)()()()()(。（2）),max(YXM及),min(YXN的分布)()()(zFzFzFYXM)(1)(11)(zFzFzFYXN10第4章随机变量的数字特征4.1随机变量X的数学期望离散型1)(kkkpxXE连续型