圆的一般方程(优质课)

圆的一般方程圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2(x+2)2+(y-2)2=5(x+a)2+(y-2)2=a2(a≠0)特征：直接看出圆心与半径复习x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-++-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数FrbaEbDa=-+=-=-222,2,2令结论：任何一个圆方程可以写成下面形式动动手1.是不是任何一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程都表示的曲线是圆呢？思考2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.022=++++FEyDxyx4422)2(2)2(2FEDEyDx-+=+++--2,2ED将左边配方，得（1）当时,它表示以为圆心,以为半径的圆;D2+E2-4F02422FEDr-+=(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；)2,2(ED--(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程与标准方程的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122-+②没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：①x2与y2系数相同并且不等于0；1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径10不是不是不是练习2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于3.x2+y2-2ax-y+a=0是圆的方程的充要条件是3,6,4)(-A3,6,4)(-B3,6,4)(--C3,6,4)(--D21)(aA21)(aB21)(=aC21)(aDDD练习下列方程各表示什么图形?若是圆则求出圆心、半径.0112422)1(22=--++yxyx22(2)20(0)xyaxa++=22222(2)20)0xyaxxaya++=++=由得（22(1)2241210xyxy++--=解：由2212602xyxy++--=得22211)(3)2xy++-=即：（13-故它表示以（，）为圆心,422为半径的圆.a,0a-故它表示以（）为圆心，为半径的圆4：(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程配方展开标准方程[小结一]:举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法二：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则222240)0(DEFxyDxEyF++++=+-F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法三：F=0D=-8E=6解得小结二(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.例2.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.举例2222222(,)(0)(0)12(3)(0)23064(9)0xyxyxyxyx-+-=-+-++-=--解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx.O..（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译法例3：已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。4)1(22=++yx举例1、已知点P在圆C：上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。0216822=+--+yxyx练习2、求经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0,由韦达定理得x1+x2=-D,x1.x2=F,又∴D2-4F=36…(1)∵圆过P(-2,4),Q(3,-1)∴(-2)2+42+(-2)D+4E+F=0,即:2D-4E-F=0(2)32+(-1)2+3D-E+F=0,即:3D-E+F=-10(3)由(1),(2),(3)联立求得:D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=064)(2122121=-+=-xxxxxx练习3.自点A(-3，3)发射的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.题意分析•B(-3，-3)A(-3，3)•C(2,2)•(1)入射光线及反射光线与x轴夹角相等.(2)点P关于x轴的对称点Q在反射光线所在的直线l上.(3)圆心C到l的距离等于圆的半径.答案：l:4x+3y+3=0或3x+4y-3=04、过点M（-6，0）作圆C：的割线，交圆C于A，B两点.求线段AB的中点P的轨迹.094622=+--+yxyx解：圆的方程可化为(x-3)+(y-2)=422其圆心为C（3，2）半径为2设P（x，y）是轨迹上任意一点MPCP16321-=+---=xyxykkMPCP即：化简得：0182322=--++yxyx所以所求轨迹为圆0182322=--++yxyx••-6o3yxcAB•。。P在已知圆内的一段弧（不含端点）.思考题：22010,,CxymxyPQOOPOQm+-=+-=已知圆:与直线相交于两点，为坐标原点，若求的值。解：[方法一]2010xymxy+-=+-=2OPQ12121211212212112122(1)mmxxmmyy--+-==+---==和OPOQ12120(2)xxyy+=1122(,),(,)PxyQxy设将（1）代入（2）式可得:m=122010,,CxymxyPQOOPOQm+-=+-=已知圆:与直线相交于两点，为坐标原点，若求的值。解：[方法二]2010xymxy+-=+-=2OPQ1122(,),(,)PxyQxy设思考题：OPOQ12120(2)xxyy+=222(1)0xxm-+-=1212mxx-=1212myy-=同理1.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?-+=++++0402222FEDFEyDxyx配方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结几何方法求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径（圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF-+-=++++=设方程为(或列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）小结求圆的方程