7章 信号与系统理论的应用

重点：第7章信号与系统理论的应用1.无失真传输2.理想滤波器3.模拟滤波器4.数字滤波器5.调制与解调6.频分复用和时分复用7.1无失真传输概念无失真传输指输出信号与输入信号只是大小和出现的时间不同，而其波形形状相同。0x(t)t系统)(tx)(yt0y(t)tt0无失真传输系统的频率响应为：0(j)()HKt0j(j)(j)e(j)tYHKX1．幅频特性在整个频率范围内为一常数，即系统的带宽为无穷大；2．相频特性在整个频率范围内为一通过原点的直线，其斜率为，即相位响应在与ω正比。(j)H0t可看出,无失真传输系统在频域应满足的条件为：线性失真仅让信号的幅度和相位发生了失真。在线性失真中响应信号中不会出现激励信号中所没有的新频率成分。失真分类若系统输出响应中出现有输入激励信号中所没有的新频率分量，则称之为非线性失真。非线性失真线性失真（1）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。（2）相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。线性信号失真的原因：7.2理想滤波器理想滤波器指信号的部分频率分量可无失真的完全通过，而另一部分频率分量则完全通不过。理想低通滤波器的频率响应即将频率低于的信号无失真的传送，而将频率高于的信号完全阻止。cc0|H(jω)|t0()tccK0je,(j)0,tccKH滤波器的截止频率理想低通滤波器的频率响应为使信号通过的频率范围。通带阻止信号通过的频率范围。阻带cc通带阻带例00j1jjj()00011()[(j)](j)edeed2π2πsin[()]1e2πj()π()cccctttttccchtFHHtttttt)(t)1(0t)(tht0tcO1.理想低通滤波器的冲激响应为！由图可见，冲激信号经过理想低通滤波器后，波形发生了严重的失真，这是由于冲激信号的频谱为白色谱，即它的频带宽度为无限宽。即只有冲激函数的低频分量通过了滤波器，故导致波形发生了严重的失真。0000sin[()]()limlim[()]()π()πccccccctthtSatttttt欲使h(t)不失真，理想低通滤波器的带宽必须为无限宽，即应满足无失真传输的条件。理想低通滤波器为一非因果系统，实际中是不可实现的，但在分析和设计滤波器时仍具有理论指导意义。2.理想低通滤波器的阶跃响应为00()()*()()()d()dsin[()]dπ()tttcccgthtuthuthtt000()0()0()1sin1sin1sin()dddπππ11sind2πcccttttttxxxgtxxxxxxxxx0()ctx阶跃响应的上升时间与滤波器的截止频率成反比，和滤波器的带宽B成反正比；阶跃信号通过低通滤波器后，上升沿变缓，带宽越宽，上升时间越短，上升沿变化越陡峭。！cπ211Otr(t)trt0cπtO)(tu阶跃响应波形为7.3模拟滤波器7.3.1巴特沃思低通滤波器的幅频特性1.巴特沃思低通滤波器幅频特性（最平响应特性滤波器）指对于低通滤波器在时，其幅频特性,幅频特性曲线的各阶导数为零，即在原点曲线是最平坦的，并不是指在整个通带内是平的，没有波动。0指对于低通滤波器在时，其幅频特性,幅频特性曲线的各阶导数为零，即在原点曲线是最平坦的，并不是指在整个通带内是平的，没有波动。j1aH0巴特沃思低通滤波器的幅频特性的平方为滤波器的半功率点21ω1ωco0.5n=2n=5n=4|Ha(jω)|当N取值越大，幅频特性在通带内就越平坦，过渡带就越陡峭，衰减得就越快，其特性越接近理想的低通滤波器，滤波器的实现也就越复杂。不同阶次的巴特沃思低通滤波器的幅频特性：221(j)1(/)aNcH滤波器的阶数！2.巴特沃思低通滤波器系统函数和极点分布由于系统是稳定系统，则系统函数满足：()aHs由上式可求出的2N个极点，即2()aHs2*(j)(j)(j)(j)(j)aaaaaHHHHH因为j()(j)aasHsH221()()()1(/j)aaaNcHsHsHss21()0jNcs11πj[(21)π]222j(1)ekNNkccs，k=1，2，3，…，2NN=3，4时，极点在s平面的分布情况：径为的圆周上，且以原点为对称中心，成对出现，其中有N个为的极点，另外N个为的极点。()aHs2()aHs的2N个极点以πN为间隔，均匀地分布在半c由的极点，就可写出的表达式。如当N=2时，为根据确定K=，因此二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数为令，对进行频率归一化处理得：()aHs()aHs()aHs0()1asHs2ccss()aHsj3π/4j3π/422()(e)(e)2accccKKHsssss222()2caccHsss21()21aHsss3.巴特沃思低通滤波器的设计理想滤波器从通带到阻带的变换是阶跃性的，即理想滤波器的过渡带为零。实际滤波器的幅频特性和理想滤波器是有一定偏差的，允许的最大偏差称之为容限。典型的低通滤波器的幅频特性：通带截止频率阻带下限频率要设计一个模拟滤波器，实际上就是要找一个系统函数来逼近理想滤波器，使之满足技术指标和容限图。低通滤波器的主要技术指标一般有：（1）通带截止频率（2）通带最大衰减（3）阻带下限频率（4）阻带最小衰减pApssA(20lg(j)dB)AH频率归一化选定某一频率为基准频率，将实际频率除以基准频率，所得的比值称为归一化频率。因各滤波器的工作频率不同，为设计简便，常将实际频率进行归一化。！技术指标为fp＝2KHz，Ap＝3dB，fs＝4KHz，As≥30dB。设计一巴特沃思低通滤波器。（3）由N＝5，得归一化系统函数为（1）归一化频率：（2）根据，As≥30dB，查图可知，5阶系统满足阻带衰减要求，即N＝52s例解422sssppff54321()3.2365.2365.2363.2361Hssssss（4）以代入上式化简得pss5432554233245()()1()3.236()5.236()5.236()3.236()13.2365.2365.2363.236psspppppppppppHsHsssssssssss7.3.2切贝雪夫低通滤波器切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅频特性的平方为式中，为决定等波动起伏幅度的常数；N为滤波器的阶数；为N阶切贝雪夫多项式。()NTx22221(j)1(/)aNcHT1cos(arccos),1()cosh(arcosh),1NNxxTxNx（1）定义1.切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅频特性（2）切贝雪夫多项式满足的递推关系（当时）1x11()2()()NNNTxxTxTx2233424535()21()43()881()16205TxxTxxxTxxxTxxxx01()1()TxTxx1～4阶切贝雪夫多项式的曲线如下图：（3）不同阶次切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅频特性曲线N=3和N=5N=4和N=6由图可以看出：（1）当时，在1与之间等幅波动，越小，波动幅度越小；（2）在过渡带和阻带即时，幅频特性曲线单调下降，且N和的值越大，衰减得越快；（3）N为奇数时，N为偶数时；（4）无论N为何值，当时，。(j)aH21/1c(0)1aH2(0)1/1aHc2(j)1/1aH0c！2.切贝雪夫低通滤波器的传递函数和极点分布2jj222211()()(j)1()1()jassNNccHsHsHsTT221)0jNcsT（令sinjcosiccsshchNNNN得极点为1(21)π2(0,1,2,)1iish式中其传递函数为令jiiissin,cosicicshchNNNN代入上式得：设,()ashbshbaNN1)()(22ciciba短轴长轴结论切贝雪夫低通滤波器的极点，是一组分布在以为长轴，以为短轴的椭椭圆上的点。cbca归一化系统函数的分母多项式取位于左半平面的N个极点，即可得到系统函数为：112()()cNaNiiHsss设css，对进行归一化，得()aHs112()()()cNassHsHsDs121210()NNNNNDssasasasa式中根据通带波纹ε和阶数N，的系数已被制成表格以供设计滤波器时查阅。()Ds！3．切贝雪夫低通滤波器的设计解:设计一个切贝雪夫型模拟低通滤波器。通带边界频率，通带波动衰减，在阻带的最小衰减，求其阶数N和系统函数。例2000rad/sc0.5dBpA8000rad/ss80dBsA2021()101pAacHj0.510101011010.3493pA8020221(j)101()assNcHT81()(4)101cosh(arcosh4)0.3493sNNcTTN81arcosh(101)0.34935.31arcosh4N6N取由通带波纹衰减和N=6，查表得：其归一化传递函数为0.5dBpA11212106543212()0.089461.1592.1721.591.1720.43240.09476NaNNNNNHssasasasassssss令，可得所求滤波器的传递函数为css1811122112105.726102()()NcNaNNNNNNcNcccHssasasasaDs式中65641031321618()23188.687101.272101.875101.384106.06510Dsssssss4．利用MATLAB设计切贝雪夫模拟低通滤波器阻带边界频率通带衰减参数阻带衰减参数模拟滤波器通带边界频率（1）[n,wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s‘)最小阶数截止频率（2）[z,p,k]=cheblap(n)切贝雪夫低通滤波器原型设计函数，p，z，k分别为滤波器的极点，零点和增益，n为滤波器的阶数。（3）[b,a]=cheby1(n,Rp,wn,’s’)切贝雪夫通滤波器设计函数，Rp，n，Wn分别滤波器的通带波纹，最小阶数和截止频率，’s’表示模拟滤波器，a，b分别为滤波器的传递函数分子和分母多项式向量。wp=2,Rp=1,ws=4,Rs=30;[n,wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp);[b,a]=zp2tf(z,p,k);'归一化的切贝雪夫低通滤波器的传递函数'sys=tf(b,a)'切贝雪夫低通滤波器的传递函数'[c,d]=cheby1(n,Rp,wn,'s');sys=tf(c,d)freqs(c,d,4)已知低通滤波器系统函数H(s)采用切贝雪夫逼近，通带波纹1dB，通带角频率ωp=2rad/s，阻带角频率ωs=4rad/s，阻带衰减A不小于30dB，试确定滤波器的阶数及系统函数，并绘出其频率响应曲线。例